Columna de Taylor

Las columnas de Taylor fueron observadas por primera vez por William Thomson, Lord Kelvin, en 1868.[1][2] Las columnas de Taylor aparecieron en conferencias demostrativas de Kelvin en 1881[3] y por John Perry en 1890.[4] El fenómeno se explica mediante el teorema de Taylor-Proudman, y ha sido investigado por Taylor,[5] Grace,[6] Stewartson,[7] y Maxworthy [8]-entre otros.

Columna de Taylor en un fluido.

Las columnas de Taylor han sido estudiadas con rigurosidad. Para Re<<1, Ek<<1, Ro<<1, se ha deducido la ecuación de arrastre de un cilindro de radio, a halalndo la siguiente relación.[7][9]

${\displaystyle F={\frac {16}{3}}\rho a^{3}\Omega U}$

Para derivarla, Moore y Saffman resolvieron la ecuación de Navier–Stokes linealizada en coordenadas cilíndricas,[9] donde algunas de las componentes vericales y radiales del término viscoso se consideran pequeñas comparadas con el término de Coriolis:

${\displaystyle -2\Omega v=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}}$

${\displaystyle 2\Omega u=\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial r}}-{\frac {v^{2}}{r}}\right)}$

${\displaystyle 0=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)}$

Para resolver estas ecuaciones, se incorpora la condición de conservación de volumen:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial (ur)}{\partial r}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$

Se utiliza la relación de compatibilidad de Ekman para esta geometría para restringir la forma de la velocidad en la superficie del disco:

${\displaystyle w-U=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\nu }{\Omega }}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv)}{\partial r}}}$

Los campos de velocidad resultantes se resuelven utilizando funciones de Bessel.

${\displaystyle u=-{\frac {\nu }{2\Omega }}\int \limits _{0}^{\infty }k^{2}A(k)J_{1}(kr)e^{-\nu k^{3}z/2\Omega }dk}$

${\displaystyle v=\int \limits _{0}^{\infty }A(k)J_{1}(kr)e^{-\nu k^{3}z/2\Omega }dk}$

${\displaystyle w=-\int \limits _{0}^{\infty }A(k)J_{0}(kr)e^{-\nu k^{3}z/2\Omega }dk}$

Donde para cuando Ek<<1 la función A(k) se expresa como,

${\displaystyle A(k)={\frac {2Ua}{\pi }}\left(\cos ka-{\frac {\sin ka}{ka}}\right)}$

La integración de la ecuación para v, se puede obtener la presión y por lo tanto la fuerza de arrastre queda expresada por la primera ecuación.