Condición de frontera de Neumann

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}\\{\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$ son números dados.

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ tal como:

${\displaystyle \nabla ^{2}y=0}$

donde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

Aquí ${\displaystyle \mathbf {n} }$ es la normal a la frontera ${\displaystyle \partial \Omega }$ y ${\displaystyle f}$ es una función escalar.

La derivada normal ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}}$ se define como:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)}$

donde ${\displaystyle \nabla }$ es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.