Congruencia de Mirimanoff

El n-ésimo polinomio de Mirimanoff para el primo p es

${\displaystyle \phi _{n}(t)=1^{n-1}t+2^{n-1}t^{2}+...+(p-1)^{n-1}t^{p-1}.}$

En términos de estos polinomios, si t es uno de estos seis valores: {-X/Y, -Y/X, -X/Z, -Z/X, -Y/Z, -Z/Y} donde X^p+Y^p+Z^p=0 es una solución al Último teorema de Fermat, entonces

• φ_p-1(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-2(t)φ₂(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-3(t)φ₃(t) ≡ 0 (mod p)

...

• φ_(p+1)/2(t)φ_(p-1)/2(t) ≡ 0 (mod p)

Mirimanoff también demostró lo siguiente:

• Si un número primo p no divide a uno de los siguientes numeradores de los números de Bernoulli B_p-3, B_p-5, B_p-7 o B_p-9, entonces el primer caso del Último teorema de Fermat, donde p no divide a X, Y or Z en la ecuación X^p+Y^p+Z^p=0, es cierto.
• Si el primer caso del Último teorema de Fermat no se cumple para el primo p, entonces 3^p-1 ≡ 1 (mod p²). Un número primo con esta propiedad es a veces llamado primo de Mirimanoff, en analogía con los números de Wieferich, que son números primos tales que 2^p-1 ≡ 1 (mod p²).

• Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer, 1979
• Agoh, Takashi. «Some variations and consequences of the Kummer–Mirimanoff congruences» (PDF) (en inglés). Consultado el 2 de abril de 2011.