Conjetura de Hall

La versión original de la conjetura de Hall, formulada por Marshall Hall, Jr. en 1970, dice que existe una constante positiva C tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que y² ≠ x³, se cumple que

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.}$

Hall sugirió que quizás C podría tomarse como 1/5, lo que era consistente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura. Danilov demostró en 1982 que el exponente 1/2 en el lado derecho (es decir, el uso de |x|^1/2) no puede ser reemplazado por ninguna potencia mayor: para ningún δ>0 existe una constante C tal que |y² - x³| > C|x|^{1/2 + δ} siempre que y² ≠ x³.

En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura anterior en el caso de los polinomios: si f (t) y g (t) son polinomios distintos de cero sobre C, de modo que g(t)³ ≠ f(t)² en C[t], entonces

${\displaystyle \deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.}$

La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada en el lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que 1/2: para cualquier ε > 0, hay una constante c(ε) dependiendo de ε tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que y² ≠ x³,

${\displaystyle |y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.}$

La forma original, fuerte, de la conjetura con exponente 1/2 nunca ha sido refutada, aunque ya no se piensa que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente significa la versión con la ε en ella. Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo

447884928428402042307918² - 5853886516781223³ = -1641843,

para el que la compatibilidad con la conjetura de Hall requeriría que C sea menor que .0214 ≈ 1/50, aproximadamente 10 veces más pequeño que la elección original de 1/5 que sugirió Hall.

La forma débil de la conjetura de Hall se seguiría de la conjetura ABC.[1] Una generalización a otras potencias perfectas es la conjetura de Pillai.

La siguiente tabla muestra los casos conocidos con ${\displaystyle r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1}$. Téngase en cuenta que y se puede calcular como el número entero más cercano a x^3/2.

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. D9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Hall, Jr., Marshall (1971). «The Diophantine equation x³ - y² = k». En Atkin, A.O.L.; Birch, B. J., eds. Computers in Number Theory. pp. 173–198. ISBN 0-12-065750-3. Zbl 0225.10012.
• Elkies, N.D. "Rational points near curves and small nonzero | 'x³ - y²'| via lattice reduction", http://arxiv.org/abs/math/0005139
• Danilov, L.V., "The Diophantine equation   'x³   -  y² '  ' =  k  ' and Hall's conjecture", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
• Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
• I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
• S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

• Página del problema por Noam Elkies