Conjetura de los números primos gemelos

En 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota el número primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearse una constante c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar que el resultado es válido para toda constante c>0.

En 1973, Jing-run Chen publicó una prueba de que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratar la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.

También existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura de Hardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los números primos. Denótese como π₂(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase la constante de los números primos C₂ como el siguiente producto de Euler

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0,66016118158468695739278121100145...}$

para primos mayores o iguales que tres. La conjetura dice que:

en el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito; es decir:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\pi _{2}(x)}{\displaystyle 2C_{2}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}}=1}$

Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) si se supone, informalmente hablando, que el evento que n no sea divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son estadísticamente dependientes sólo en la medida que el hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento entre p-1 eventos igualmente probables, y no un evento entre p eventos igualmente probables. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura de Hardy-Littlewood es ciertamente impresionante.

• Números primos gemelos
• Constante de Brun

• Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Twin Primes» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1.
• Weisstein, Eric W. «Twin Primes». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant