Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas, un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se dice que es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y equilibrado (algunos utilizan el término circular en lugar de equilibrado), en cuyo caso se llama disco. La envoltura de disco o enovoltura absolutamente convexa de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición

El área en gris claro es la envoltura absolutamente convexa de la cruz en gris oscuro.

Un subconjunto de un espacio vectorial (real o complejo) se denomina disco y se dice que es absolutamente convexo y equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

  1. es convexo y equilibrado.
  2. para cualesquiera escalares y si entonces
  3. para todos los escalares y si entonces
  4. para cualquier escalar si entonces
  5. para cualquier escalar si entonces

El menor subconjunto convexo (resp. equilibrado) de que contiene a un conjunto se denomina envoltura convexa de dicho conjunto y se denota por (resp. ).

Del mismo modo, se define que una envolutra de disco, o envolutra absolutamente convexa, de un conjunto es el disco más pequeño (con respecto al inclusión de conjuntos) que contiene a [1] La envoltura de disco de se denotará por o y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: que es la envoltura convexa del envoltura equilibrada de ; así,

    • En general, es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita.
  1. la intersección de todos los discos que contienen
  2. , donde los son elementos del cuerpo subyacente.

Condiciones suficientes

La intersección de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos es de nuevo absolutamente convexa; sin embargo, la unión de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos no necesitan ser ya absolutamente convexos.

Si es un disco en entonces es absorbente en si y sólo si {sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=67-113}}

Propiedades

Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente en tal que [2].

Si es un disco y y son escalares entonces y

La envoltura absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo es de nuevo acotada.

Si es un disco acotado en un EVT y si es una sucesión en entonces las sumas parciales son sucesiones de Cauchy, donde para todo [3]. En particular, si además es un subconjunto secuencialmente completo de entonces esta serie converge en a algún punto de

La envoltura convexa y equilibrada de contiene tanto a la envoltura convexa de como a la envoltura equilibrada de Además, contiene la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de así

donde el ejemplo siguiente muestra que esta inclusión puede ser estricta.

Sin embargo, para cualesquiera subconjuntos si entonces , lo que implica que

Ejemplos

Aunque la envoltura convexo equilibrado de es ‘’no’’ necesariamente igual a la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de {sfn|Trèves|2006|p=68}.

Para un ejemplo en el que sea el espacio vectorial real y sea . Entonces es un subconjunto estricto de que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que la envoltura equilibrado de un conjunto convexo es ‘’no’’ necesariamente convexo.

El conjunto es igual al cuadrado cerrado y lleno en con vértices y (esto es porque el conjunto equilibrado debe contener tanto a como a donde ya que también es convexo, debe contener en consecuencia el cuadrado sólido que para este ejemplo particular resulta ser también equilibrado de modo que ). Sin embargo, es igual al segmento de recta cerrada horizontal entre los dos puntos de de modo que es, en cambio, un subconjunto cerrado con forma de "reloj de arena" que corta el eje exactamente en el origen y es la unión de dos triángulo isósceles cerrados y llenos: uno cuyos vértices son el origen junto con y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con Este "reloj de arena" relleno no convexo es un subconjunto propio del cuadrado relleno

Véase también

  • Conjunto absorbente
  • Espacio normado auxiliar
  • Conjunto equilibrado
  • Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
  • Conjunto convexo
  • Dominio estrellado

Referencias

Bibliografía

  • Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. pp. 4-6.
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