Conjunto de Sidón

En teoría de Números, un conjunto de Sidon, denominado en honor al matemático Húngaro Simon Sidon, es una secuencia de números naturales A = {a0, a1, a2, ...} en la que todas las posibles sumas de dos de los números son diferentes ai + aj (i ≤ j). Sidón introdujo este concepto en su investigación sobre las series de Fourier.

El principal problema en el estudio de los conjuntos de Sidón,[1] es encontrar el mayor número de elementos posibles en una secuencia de Sidon A que sean más pequeños que un número dado x. A pesar del gran esfuerzo investigador,[2] la cuestión quedó sin resolver durante al menos 80 años. En 2010, fue finalmente resuelta[3] por J. Cilleruelo, I. Ruzsa y C. Vinuesa.

Primeros resultados

Paul Erdős y Pál Turán probaron que, para todo x > 0, el número de elementos menor que x en una secuencia de Sidon es al menos ${\sqrt {x}}+O({\sqrt[{4}]{x}})$ . Usando una construcción de J. Singer, probaron que existen secuencias de Sidón que contienen ${\sqrt {x}}(1-o(1))$ términos menores que x.

Infinitas secuencias de Sidón

Erdős también mostró que si consideramos una secuencia infinita de Sidón A siendo A(x) el número de elementos mayores que x, entonces

\liminf _{x\to \infty }{\frac {A(x){\sqrt {\log x}}}{\sqrt {x}}}\leq 1

.

Esto es, hay infinitas secuencias de Sidón más pequeñas que la cadena de Sidón finita más grande.

Referencias

Erdős, P.; Turán, P. (1941), «On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems», J. London Math. Soc. 16: 212-215, doi:10.1112/jlms/s1-16.4.212.. Addendum Archivado el 18 de julio de 2011 en Wayback Machine., 19 (1944), 208.
O'Bryant, K. (2004), «A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences», Electronic Journal of Combinatorics 11: 39, archivado desde el original el 6 de junio de 2011, consultado el 22 de septiembre de 2014..
Cilleruelo, J.; Ruzsa, I.; Vinuesa, C. (2010), «Generalized Sidon sets», Advances in Mathematics 225: 2786-2807, doi:10.1016/j.aim.2010.05.010.

Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. C9. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.

Datos: Q748968

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[1] Erdős, P.; Turán, P. (1941), «On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems», J. London Math. Soc. 16: 212-215, doi:10.1112/jlms/s1-16.4.212.. Addendum Archivado el 18 de julio de 2011 en Wayback Machine., 19 (1944), 208.

[2] O'Bryant, K. (2004), «A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences», Electronic Journal of Combinatorics 11: 39, archivado desde el original el 6 de junio de 2011, consultado el 22 de septiembre de 2014..

[3] Cilleruelo, J.; Ruzsa, I.; Vinuesa, C. (2010), «Generalized Sidon sets», Advances in Mathematics 225: 2786-2807, doi:10.1016/j.aim.2010.05.010.