Cono (geometría)

Es el perímetro de la base del cono. Se trata de una curva plana: una circunferencia si es un cono circular y una elipse si es un cono elíptico.

Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos.

Es la recta que pasa por el vértice y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica. También, se denomina altura inclinada.

Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto, entonces el círculo respectivo se llama base del cono.

Se mide de abajo hacia arriba, en un caso restringido de que un triángulo rectángulo ( como subconjunto bidimensional) gire en torno de uno de sus catetos, y se engendra un cono circular recto. Justamente, el cateto eje se llama, tanto como segmento y cuanto en medida altura del cono.

Usualmente, se considera un círculo y un punto exterior al plano del círculo. La unión de todos los segmentos de extremo en un punto del círculo y extremo común, el punto exterior, se llama cono, considerado como un sólido geométrico.[1][2]

Es el ángulo máximo entre dos rectas generatrices de la superficie lateral del cono.[3]

El área ${\displaystyle A\,}$ de la superficie del cono recto es:

${\displaystyle A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi ra\,\!}$

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: ${\displaystyle a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,}$.

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La distancia a es la longitud de la generatriz.

El valor del ángulo sombreado en la figura, en grados sexagesimales, es:

${\displaystyle \mathrm {{\acute {a}}ngulo} =360{\frac {r}{a}}\,}$.

El volumen ${\displaystyle V\,}$ de un cono de radio ${\displaystyle r\,}$ y altura ${\displaystyle h\,}$ es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:[4]

${\displaystyle V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!}$

En la proposición 10 del libro XII de los Elementos de Euclides se demuestra, con argumentos geométricos, la afirmación anterior. También se llega a la misma usando el cálculo integral, sumando los cilindros elementales que se determinan por la intersección de planos paralelos a la base del cono y cuyos radios varían en función de la distancia a la base.

La suma de los infinitos cilindros elementales de altura ${\displaystyle dx}$ está definida por la integral ${\displaystyle \int _{0}^{h}A(x)dx\,\!}$, donde ${\displaystyle A(x)\,}$ es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura ${\displaystyle h}$, en este caso ${\displaystyle A(x)=\pi \left({\frac {rx}{h}}\right)^{2}}$.

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle r}$ es el radio de la base y ${\displaystyle \scriptstyle h}$ la altura del cono oblicuo. La ecuación del volumen de un cono oblicuo de base elíptica es:

${\displaystyle V={\frac {\pi abh}{3}}}$

siendo ${\displaystyle \scriptstyle a}$ y ${\displaystyle \scriptstyle b}$ los semiejes de la elipse y ${\displaystyle \scriptstyle h}$ la altura del cono oblicuo. La justificación de estas dos fórmulas se basa en el principio de Cavalieri cuyo enunciado es el siguiente:

Igualmente dentro del cálculo infinitesimal las fórmulas anteriores puede demostrarse sin necesidad del principio de Cavalieri.