Constante de Bruijn-Newman

La constante de Bruijn-Newman, denotada por ${\displaystyle \Lambda }$ y nombrada así por Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman, es una constante matemática definida a través de los ceros de cierta función ${\displaystyle H:\mathbb {R} \times \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ , donde consideramos a ${\displaystyle \lambda }$ como la variable real y a ${\displaystyle z}$ como la variable compleja . Específicamente se define

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du}$ ,

dónde ${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } es

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$

la cual decae super -exponencialmente. Y de esta forma definimos ${\displaystyle \Lambda }$ como el único número real con la propiedad de que ${\displaystyle H(\lambda ,\cdot )}$ tiene solamente ceros reales si y solo si ${\displaystyle \lambda \geq \Lambda }$.

La constante ${\displaystyle \Lambda }$ está estrechamente relacionada con la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann: dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de ${\displaystyle H(0,\cdot )}$ son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que ${\displaystyle \Lambda }$. [1] Brad Rodgers y Terence Tao demostraron que ${\displaystyle \Lambda <0}$ no puede ser cierto, por lo que la hipótesis de Riemann es equivalente a ${\displaystyle \Lambda =0}$ . [2] Posteriormente, Alexander Dobner proporcionó una prueba simplificada del resultado de Rodgers-Tao.