Números de Feigenbaum

Los diagramas de bifurcación se refieren a los valores límite tomados por las secuencias del tipo ${\displaystyle x_{n+1}=\mu f(x_{n})}$ donde f es una función real, definida positiva y tres veces derivable sobre [0;1] y poseyendo un único valor máximo sobre este intervalo (es decir, sin valor máximo relativo).

Teniendo en cuenta x_m para una función dada, debajo de un determinado valor de μ, la secuencia conduce a un único límite. Sobre ese valor, pero debajo de otro, la secuencia termina por oscilar entre dos valores, luego, por encima de este otro valor, empieza a oscilar en torno a cuatro, etc. Los valores de μ que separan dos intervalos se llaman valores de las bifurcaciones y se nombran como μ₁,μ₂, etc.

La primera Constante de Feigenbaum está definida como el límite de los cocientes entre dos intervalos sucesivos de la bifurcación.

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {\mu _{n+1}-\mu _{n}}{\mu _{n+2}-\mu _{n+1}}}}$

Y vale aproximadamente:

${\displaystyle \delta \approx 4,669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,821\ 578\,439,\ldots }$(sucesión A006890 en OEIS)

La segunda constante de Feigenbaum se define como el límite de la relación entre dos distancias sucesivas entre las ramas más cercanas de x_m (el máximo de la función f):

${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {d_{n}}{d_{n+1}}}}$

Y vale aproximadamente:

${\displaystyle \alpha \approx 2,502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218\,478\ldots }$(sucesión A006891 en OEIS)

Lo interesante es comprobar que estos periodos y las constantes de Feigenbaum son independientes de la forma de la función f(x), siempre que sea tres veces derivable y no tenga máximos relativos. Ejemplos de funciones así son f(x)=x-x², f(x)=sen(x), etc.

• Weisstein, Eric W. «Feigenbaum Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Presentación ppt sobre diagramas de Feigenbaum, Caos y Exponentes de Liapunov