Construcción de Cayley-Dickson

Paso1. El paso de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los números complejos pueden escribirse como pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ de números reales ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, con la suma definida componente a componente y el producto definido por la expresión:

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,}$

La conjugación de un número complejo quedará definida por:

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a,-b).\,}$

Como primera consecuencia, el producto de un número complejo así formado, por su conjugado ${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0),\,}$ será siempre un número real no negativo, con lo que podremos definir su raíz cuadrada (la norma del número complejo):

${\displaystyle |z|=(z^{*}z)^{1/2}.\,}$

Este mismo procedimiento, con unas ligeras modificaciones en la definición del producto y de la conjugación, nos permitirá definir los siguientes pasos de la construcción de Cayley-Dickson.

Paso 2. El paso de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a ${\displaystyle \mathbb {H} }$

A partir de una pareja ${\displaystyle (a,b)}$ de números complejos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, podemos definir el producto[1]

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,}$

Observamos dos variaciones con la fórmula que permitía el paso de R a C: aquí el orden es importante, pues el nuevo producto no será conmutativo, y aparece el conjugado de los números complejos (pues antes el conjugado de un número real era él mismo).

La conjugación quedará definida como:

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,}$

De nuevo el producto de un elemento por su conjugado será un número real no negativo:

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+bb^{*},ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0).\,}$

Esto nos permitirá definir la norma de estos pares ordenados. Al álgebra de dimensión cuatro que forman estos pares ordenados se le conoce con el nombre de cuaterniones.

El procedimiento general repite exactamente las definiciones dadas en el segundo paso (de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a ${\displaystyle \mathbb {H} }$). De hecho, el primer paso (de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {C} }$) puede verse como un caso particular del procedimiento general. En el tercer paso se construirían los octoniones como parejas de cuaterniones. En el cuarto paso se construirían los sedeniones como parejas de octoniones. El proceso puede repetirse indefinidamente.

• Baez, John (2002), «The Octonions», Bulletin of the American Mathematical Society 39: 145-205, ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X.. (See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction")