Cribado grande

La reciente historia del cribado grande se remonta al trabajo hecho por Yu. B. Linnik, en 1941, trabajando sobre el problema del mínimo no residuo cuadrático. Subsecuentemente Alfréd Rényi trabajó sobre esto, usando métodos probabilísticos. Dos décadas después, luego de un número de contribucioes de otros matemáticos, el cribado grande fue formulado de manera definitiva. Esto ocurrió a comienzos de los 60, en trabajos independientes de Klaus Roth y Enrico Bombieri. La naturaleza de la desigualdad principal, fruto del cribado grande, se empezó a entender de una mejor manera: este relaciona una suma exponencial evaluada en puntos del círculo unitario, que están en un sentido 'bien distribuidos' (medidos por una distancia mínima), y el tipo de desigualdad es derivado del principio del operador normal de una matrix de caracteres sobre el círculo, evaluado en un conjunto finito de puntos, el cual es igual a la norma del operador adjunto.

El cribado grande asegura que, dado un conjunto B finito no vacío de enteros, dado ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ el conjunto de potencias de primos. Suponga que para alguna función ${\displaystyle u(t)}$

${\displaystyle \#B\mod t\leq u(t)}$

Defina

${\displaystyle \displaystyle X:=\max _{b\in B}|b|}$

entonces, si se cumple

${\displaystyle \sum _{t\in {\mathcal {T}}}{\frac {\Lambda (t)}{u(t)}}-\log(2X)>0}$

Tenemos la desigualdad

${\displaystyle \#B\leq {\frac {\sum _{r\in {\mathcal {T}}}\Lambda (t)-\log(2X)}{\sum _{t\in {\mathcal {T}}}{\frac {\Lambda (t)}{u(t)}}-\log(2X)}}}$

donde ${\displaystyle \Lambda }$ es la función de von Mangoldt. Esta última se le atribuye a Gallagher

• Teoría de cribas
• Teorema de Bombieri–Vinográdov

• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. pp. 135-155. ISBN 0-521-61275-6. La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
• Harold Davenport (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 74 (3rd ed. edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95097-4.
• Christopher Hooley (1976). Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. pp. 17-20. ISBN 0-521-20915-3.
• Emmanuel Kowalski (2008). The Large Sieve and its Applications. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9780521888516.
• Gérald Tenenbaum (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 46. Cambridge University Press. pp. 62-73. ISBN 0-521-41261-7.