Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cinco muestras. Cada ciclo se compone de sólo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. La reconstrucción teórica resulta de la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientes desplazadas en el tiempo g(t-nT) con ${\displaystyle -\infty <n<\infty \,\!}$, donde los coeficientes de ponderación son las muestras x(n). En esta imagen cada función de interpolación está representada con un color (en total, cinco) y están ponderadas al valor de su correspondiente muestra (el máximo de cada función pasa por un punto azul que representa la muestra).

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras que no esté perfectamente definido por la serie total de muestras.

Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica ${\displaystyle x_{a}(t)\,\!}$ es ${\displaystyle F_{max}=B\,\!}$ y la señal se muestrea a una tasa ${\displaystyle F_{s}>2F_{max}\equiv 2B\,\!}$, entonces ${\displaystyle x_{a}(t)\,\!}$ se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:

${\displaystyle g(t)={\frac {\sin 2\pi Bt}{2\pi Bt}}\,\!}$

Así, ${\displaystyle x_{a}(t)\,\!}$ se puede expresar como:

${\displaystyle x_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{a}\left({\frac {n}{F_{s}}}\right)g\left(t-{\frac {n}{F_{s}}}\right)}$

donde ${\displaystyle x_{a}\left({\frac {n}{F_{s}}}\right)=x_{a}\left(nT\right)\equiv x\left(n\right)}$ son las muestras de ${\displaystyle x_{a}\left(t\right)}$.

Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y no todas las señales comparten tal característica (por ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada).

Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el llamado aliasing).

• Una vez satisfechos los criterios de Nyquist, la calidad de la reconstrucción de una señal en toda su banda, ya no se encuentra en función de la tasa de muestreo empleada en el proceso de muestreo. Esto es totalmente cierto desde la perspectiva matemática del teorema y un error, una vez consideradas las limitaciones prácticas, en el ámbito práctico de la física o la ingeniería.[1] Así, una vez satisfechos los criterios de Nyquist, no aporta nada el incrementar la tasa de muestreo una vez que esta cumple el criterio de Nyquist. Es decir, matemáticamente, la información necesaria para su reconstrucción total existirá desde que la tasa cumpla ese criterio -siempre y cuando no exista otro factor como la cuantificación-. De esta manera, por ejemplo, la reconstrucción de una señal periódica con componentes de hasta 10 kHz es idéntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo.
• El proceso de muestreo no debe ser confundido con el de cuantificación, que redondea los valores obtenidos por el muestreo para su posterior codificación (generalmente en binario) y que, por tanto, puede provocar distorsión. El muestro es, desde el punto de vista matemático, perfectamente reversible una vez cumplido el criteiro de Nyquist, es decir, su reconstrucción 'per se' es exacta, no aproximada. La cuantificación, por el contrario, supone una simplificación mediante redondeo o aproximación de los valores de muestreo de la señal analógica, que apenas podrán revertirse mediante técnicas de modelado de ruido a fin de alterar selectivamente la distorsión consecuencia del proceso de cuantificación en señales completamente digitalizadas, es decir, muestreadas, cuantificadas y codificadas.
• Es un error creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstrucción mediante rectas, también denominada interpolación lineal. Esto formaría dientes de sierra en la señal obtenida, representadas por muestras con una frecuencia de valores discretos siempre menor a la continuidad analógica. Por el contrario, el proceso de cálculo de la interpolación se realiza de manera predictiva. El teorema de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera, está descrita por la serie total de muestras, siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica -como lo son las ondas mecánicas del sonido, o las ondas electromagnéticas-, y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo; en cuyo caso no será necesario predecir la evolución de la señal entre muestras para obtener la representación continua de la señal.
• En la práctica, y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar, y la frecuencia crítica de Nyquist que resulta de la tasa de muestreo escogida. Por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicación. Sin embargo, este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción o antialiasing que utilicemos, y no una consideración contemplada por el teorema de Nyquist-Shannon, que apenas pretende establecer el marco teórico-matemático del procesamiento digital de señales. En ocasiones se emplean técnicas de sobremuestreo para la reconstrucción de una señal con el objeto de aumentar artificialmente este margen y permitir el uso de filtros de fase lineal (retardo de grupo constante) en la banda pasante, los cuales son generalmente más sencillos y económicos, y presentan pendientes de atenuación más suaves. En todo caso, tanto el margen como el uso de técnicas de sobremuestreo son recursos de ingeniería para tratar restricciones prácticas, que en nada invalidan el resultado y contenido de este teorema. El teorema es, de hecho, el marco analítico ideal sobre el que las restricciones reales no ideales deben ser estudiadas.

• Audiófilo
• Conversión analógica-digital
• Conversión digital-analógica
• Cuantificación digital
• Frecuencia de muestreo
• Muestreo digital
• Onda periódica
• Oscilador armónico
• Ruido de cuantificación
• Serie de Fourier
• Transformada de Fourier

• Teorema de muestreo (en español).