Cuadratura de Gauss

También conocido como método de Gauss-Legendre, los coeficientes están dados por

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}\,\!;}$

donde ${\displaystyle P_{n}}$ es el polinomios de Legendre de grado n en el intervalo [−1, 1], y los x_i son las raíces de dicho polinomio. La siguiente tabla muestra los valores de los x_i y los pesos asociados w_i, para distintos valores de n.

Número de puntos, n	Puntos, xi	Pesos, wi
1	0	2
2	${\displaystyle \pm {\sqrt {1/3}}}$	1
3	0	8⁄9
	${\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}}$	5⁄9
4	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$
	${\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}$	${\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$
5	0	128⁄225
	${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$
	${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$

Aplicando un cambio de variable lineal, se puede convertir una integral en el intervalo [a, b], en una integral en [−1, 1]:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}u+{\frac {a+b}{2}}\right)\,du}$

Luego se puede aplicar la Cuadratura de Gauss para aproximar la integral en [−1, 1]:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}u_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)}$

Aproxime la integral ${\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}}$ de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.

${\displaystyle \int _{1}^{5}(x^{3}+2x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \int _{1}^{5}(x^{3}+2x^{2})\,dx=238.66667}$

${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle 2n-1=2(2)-1=3}$

Con ${\displaystyle n=2}$ podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx={\frac {5-1}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {5-1}{2}}x+{\frac {5+1}{2}}\right)\,dx=2\int _{-1}^{1}f\left(2x+3\right)\,dx}$

${\displaystyle \approx 2\sum _{i=1}^{2}w_{i}f(2x_{i}+3)=2(w_{1}f(2x_{1}+3)+w_{2}f(2x_{2}+3))=238.66667}$

• https://web.archive.org/web/20100327115656/http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/cuadratura_gauss.htm
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1998). «§4.7: Cuadratura gaussiana». Análisis numérico. ISBN 968-7529-46-6.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Gaussian quadrature» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.