Cuantización

En concreto dada la descripción hamiltoniana de un sistema clásico mediante una variedad simpléctica ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ se puede definir[1] formalmente el proceso de cuantización como la construcción de un espacio de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ tal que al conjunto de magnitudes físicas u observables medibles en el sistema clásico ${\displaystyle f_{i}\,}$ se le asigna un conjunto de observables cuánticos u operadores autoadjuntos ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ tales que:

1. ${\displaystyle (f_{i}+f_{j}){\hat {}}={\hat {f}}_{i}+{\hat {f}}_{j}}$
2. ${\displaystyle (\lambda f_{i}){\hat {}}=\lambda {\hat {f}}_{i}\qquad \lambda \in \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}{\hat {}}=-i[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}]}$
4. ${\displaystyle {\hat {1}}=I_{\mathcal {H}}}$
5. Los operadores de posición ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ y sus momentos conjugados ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ actúan irreduciblemente sobre ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Donde ${\displaystyle I_{\mathcal {H}}}$ es la aplicación identidad sobre el espacio de Hilbert asignado al sistema, ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ es el paréntesis de Poisson y ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ es el conmutador de operadores.

Por el teorema de Stone-von Neumann la condición (5) implica que los grados de libertad de desplazamiento nos obligan a tomar ${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ y un operador es multiplicativo y otro derivativo. Así si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordenadas espaciales:

${\displaystyle {\hat {q}}_{i}\psi (q_{i})=q_{i}\psi (q_{i})\qquad {\hat {p}}_{i}\psi (q_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\psi (q_{i})}$

Si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordenadas de momento conjugado:

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}\psi (p_{i})=p_{i}{\tilde {\psi }}(p_{i})\qquad {\hat {q}}_{i}\psi (p_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\tilde {\psi }}(p_{i})}$

Los procedimientos de primera cuantización son métodos que permiten construir modelos de una partícula dentro de la mecánica cuántica a partir de la correspondiente descripción clásica del espacio de fases de una partícula.

• La cuantización canónica es un procedimiento informal que asigna a una magnitud física (expresable en términos de las coordenadas canónicas del sistema clásico), un operador obtenido por sustitución directa de las variables canónicas por operadores hermíticos P_i y Q_i que satisfacen las relaciones [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 y [Q_i,P_j] = 0.
• La cuantización de Weyl es un procedimiento para construir un operador hermítico sobre el espacio ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ para un sistema cuyo espacio de fases clásico tenga una topología ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Esta técnica fue descrita por primera vez por Hermann Weyl en 1927.

Los procedimientos de segunda cuantización son métodos para construir teorías cuánticas de campos a partir de una teoría clásica de campos.

• Cuantización canónica es una extensión del procedimiento de cuantización canónica empleado en la primera cuantización pero extendido en este caso a más de una partícula.
• Cuantización canónica covariante.
• Cuantización mediante integrales de camino, propuesto por Feynmann y Kac que depende de construir una medida acotada en un espacio de Hilbert a partir del funcional de acción.
• Cuantización geométrica.
• Aproximación variacional de Schwinger.

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)