Curva de Bézier

Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés, Pierre Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault, las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.

Posteriormente, los inventores del PostScript, lenguaje que permitió el desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador, introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de las curvas y los trazados. El lenguaje PostScript sigue empleándose ampliamente y se ha convertido en un estándar de calidad universal; por ello, los programas de diseño vectorial como Adobe Illustrator, el extinto Macromedia FreeHand y Corel Draw, tres de los programas más importantes de dibujo vectorial y otros como Inkscape, denominan «bézier» a algunas de sus herramientas de dibujo, y se habla de «trazados bézier», «pluma bézier», «lápiz bézier», etc. Su facilidad de uso la ha estandarizado en el diseño gráfico, extendiéndose también a programas de animación vectorial, como Adobe Flash, y retoque fotográfico (bitmap), como Photoshop y Gimp, donde se usa para crear trazos, formas cerradas o selecciones.

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas (x₁, y₁) y a un punto B le corresponde (x₂,y₂). Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o «nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».

La generalización pasaría a ser las curvas denominadas "Spline", es decir la curva cúbica de Bézier es un Spline de tercer grado. La curva de Bézier de grado ${\displaystyle n}$ puede ser generalizada de la siguiente manera. Dados los puntos P₀, P₁,..., P_n, la curva de Bézier es del tipo:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mathbf {P} _{i}(1-t)^{n-i}t^{i}=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{n}+{n \choose 1}\mathbf {P} _{1}(1-t)^{n-1}t+\cdots +\mathbf {P} _{n}t^{n}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Por ejemplo, una curva de orden cinco (${\displaystyle n=5}$) quedaría como:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}(1-t)^{5}+5\mathbf {P} _{1}t(1-t)^{4}+10\mathbf {P} _{2}t^{2}(1-t)^{3}+10\mathbf {P} _{3}t^{3}(1-t)^{2}+5\mathbf {P} _{4}t^{4}(1-t)+\mathbf {P} _{5}t^{5}{\mbox{ , }}t\in [0,1].}$

Esta ecuación puede ser expresada de manera recursiva como sigue: sea la expresión ${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}}$ que denota la curva de Bézier determinada por los puntos P₀, P₁,..., P_n. Entonces

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)=(1-t)\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n-1}}(t)+t\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{1}\mathbf {P} _{2}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)}$

En otras palabras, el grado ${\displaystyle n}$ de la curva de Bézier es una interpolación entre los dos grados ${\displaystyle n-1}$ de las curvas de Bézier.

El código que se lista a continuación es un ejemplo práctico que muestra como se traza una curva cúbica de Bézier en un programa usando lenguaje de programación C. Nótese que este simplemente calcula los coeficientes de un polinomio y se ejecuta a través de una serie de valores de ${\displaystyle t}$ comprendidos en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$. En la práctica no es como se procede de manera normal. Con frecuencia, una solución recursiva es más rápida, consumiendo menos ciclos de procesador y a expensas de requerir más memoria para el cálculo, de manera temporal. Incluso el método directo ilustrado aquí es más fácil de comprender y produce el mismo resultado. El siguiente código ha sido compilado para hacer esta operación más clara. En la práctica una optimización podría ser calcular los coeficientes una vez y posteriormente usar los resultados para reprocesarlos y calcular los puntos de la curva. Aquí son recalculados cada vez, lo que es menos eficiente pero ayuda a clarificar el código.

La curva resultante puede ser trazada dibujando líneas entre puntos sucesivos en la matriz de la curva. A más puntos más suavidad en la silueta de la curva.

En algunas arquitecturas, el código de abajo puede ser optimizado también por programación dinámica. Por ejemplo donde ${\displaystyle dt}$ es constante, ${\displaystyle cx*t}$ cambia una cantidad constante con cada iteración. Por aplicación repetida, el bucle puede ser reescrito sin ninguna multiplicación, aunque tal procedimiento no es numéricamente estable.

/*
Código para generar una curva cúbica de Bézier
*/

typedef struct
{
    float x;
    float y;
}
Point2D;

/*
cp es una matriz de 4 elementos donde:
cp[0] es el primer punto, o P0 en el diagrama de abajo
cp[1] es el primer punto de control, o P1 en el diagrama de abajo
cp[2] es el segundo punto de control, o P2 en el diagrama de abajo
cp[3] es el punto final, o P3 en el diagrama de abajo
t es el valor del parámetro, 0 <= t <= 1
*/

Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
{
    float   ax, bx, cx;
    float   ay, by, cy;
    float   tSquared, tCubed;
    Point2D result;

    /* cálculo de los coeficientes polinomiales */

    cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
    bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
    ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;
	
    cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
    by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
    ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;
	
    /* calculate the curve point at parameter value t */
	
    tSquared = t * t;
    tCubed = tSquared * t;
	
    result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
    result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;
	
    return result;
}

/*
 ComputeBezier fills an array of Point2D structs with the curve 
 points generated from the control points cp. Caller must 
 allocate sufficient memory for the result, which is 
 <sizeof(Point2D) numberOfPoints>
*/

void ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve ) {
    float   dt;
    int	  i;

    dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );

    for( i = 0; i < numberOfPoints; i++)
        curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
}

Otra aplicación de las curvas de Bézier es la descripción de los pasos para el movimiento de objetos en animaciones, etc. Aquí la x y las posiciones de la curva no son usadas para trazar la curva pero sí la posición en la gráfica. Cuando se usa de este modo, la distancia entre puntos sucesivos puede llegar a ser muy importante y, en general, estos no están espaciados de manera ecuánime. Si se requiere una linealidad en el movimiento, para procesar el cálculo más rápido, incluso en contra del camino deseado es necesario desdoblar los puntos resultantes.

Este tipo de curvas ajustan automáticamente los coeficientes de las ecuaciones paramétricas para obtener una aproximación a una figura arbitraria. El numerador es una ponderación de una curva Bézier en su forma de Berstein y el denominador es una suma ponderada de polinomios de Berstein.

Dados n + 1 puntos de control P_i, la curva racional puede ser descrita por:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)={\frac {\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}w_{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)w_{i}}}}$

o simplemente:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)={\frac {\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}\mathbf {P} _{i}w_{i}}{\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}w_{i}}}.}$

• Polinomio de Bernstein

• Paul Bourke: Bézier curves, https://web.archive.org/web/20060708162825/http://astronomy.swin.edu.au/%7Epbourke/curves/bezier/
• Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellent discussion of implementation details; available for free as part of the TeX distribution.
• Dr Thomas Sederberg, BYU Bézier curves, https://web.archive.org/web/20060221000535/http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf
• J.D. Foley et al.: Computer Graphics: Principles and Practice in C (2nd ed., Addison Wesley, 1992)

• 3rd order Bezier Curves applet
• Living Math Bézier applet
• Living Math Bézier applets of different spline types, JAVA programming of splines in An Interactive Introduction to Splines
• Don Lancaster's Cubic Spline Library describes how to approximate a circle (or a circular arc, or a hyperbola) by a Bézier curve; using cubic splines for image interpolation, and an explanation of the math behind these curves.