Curva de Viviani

Vincenzo Viviani propuso en 1692 el problema de arquitectura siguiente:[1]

Se trata de perforar una cúpula hemisférica por cuatro ventanas, de tal manera que la superficie restante de la cúpula sea cuadrable.

John Wallis, Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli estudiaron de forma natural el caso simple de ventanas circulares, y tuvieron que estudiar la curva intersección del cilindro y del hemisferio, dando a esta curva el nombre de «ventana de Viviani».[2]

Se tienen las representaciones siguientes (para una esfera de radio R):[3]

Sistema de coordenadas cartesianas:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle (x-R/2)^{2}+y^{2}=(R/2)^{2}}$

Parametrización cartesiana:

${\displaystyle x=R\cos ^{2}u}$

${\displaystyle y=R\cos u\sin u}$

${\displaystyle z=R\sin u}$

también equivalente a: (con ${\displaystyle u=t/2}$)

${\displaystyle x=(R/2)(1+\cos t)}$

${\displaystyle y=(R/2)\sin t}$

${\displaystyle z=R\sin(t/2)}$

Su longitud coincide con la de una elipse de semiejes ${\displaystyle (R)}$ y ${\displaystyle (R{\sqrt {2}})}$ ; calculable mediante una integral elíptica.

El valor aproximado es de ${\displaystyle L\approx 7,64R}$

La cúpula del museo marítimo de Osaka.

El arquitecto Paul Andreu diseñó la cúpula del Museo marítimo de Osaka, disponiendo las nervaduras según una red de curvas de Viviani paralelas.

• Clelia

• Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le dévéloppement des méthodes en géométrie (1837), impr. Hayez, Bruselas
• Michel Sierres, Le système de Leibnitz te ses modèles mathématiques (1968, reed. 2007) edición. PUF, cuello. Épiméthée (ISBN 2130433898 )
• (francés) Denis Lanier. «Leibniz, la nouvelle analyse te la géométrie huevo enquête sur la fenêtre de Viviani» p. 203-227. NUMDAM: Cahiers lleva séminaire de histoire des mathématiques, vol. 8, 1987. [Consulta: 28 oct. 2007].

La curva de Viviani en Mathcurve