Derivación de funciones trigonométricas

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, ${\displaystyle f(x)}$,

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

y ${\displaystyle h(x)\neq 0\,}$, entonces la regla dice que la derivada de ${\displaystyle g(x)/h(x)\,}$ es igual a:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

A partir de la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan(x)={sen(x) \over \cos(x)}+}$

haciendo:

${\displaystyle g(x)=\operatorname {sen}(x)\,}$

${\displaystyle g'(x)=\cos(x)\,}$

${\displaystyle h(x)=\cos(x)\,}$

${\displaystyle h'(x)=-\operatorname {sen}(x)\,}$

sustituyendo resulta

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\operatorname {sen}(x)[-\operatorname {sen}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}$

operando

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}$

y aplicando las identidades trigonométricas

${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)=1\,}$

${\displaystyle \sec ^{2}(x)={\frac {1}{cos^{2}(x)}}\,}$

resulta:

${\displaystyle f'(x)=\sec ^{2}(x)\,}$

Tenemos una función ${\displaystyle \,y=arcsen\,x}$, que también se puede expresar como ${\displaystyle \,\operatorname {sen} y=x}$. Derivando implícitamente la segunda expresión:

${\displaystyle \,\cos y\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos y}}\,}$

Tenemos además que ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}y}}\,}$, y que ${\displaystyle \,x=\operatorname {sen} y}$. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

${\displaystyle \,{\frac {d}{dx}}arcsen\,x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle y=csc(x)cot(x)\,}$

${\displaystyle y'=(-csc(x)csc^{2}(x))-cot(x)csc(x)cot(x)\,}$

${\displaystyle y'=-csc(x)csc^{2}(x)-cot^{2}(x)csc(x)\,}$

${\displaystyle y'=-csc^{3}(x)-cot^{2}(x)csc(x)\,}$

${\displaystyle y=3sen(x)-2cos(x)\,}$

${\displaystyle y'=3{\frac {d\,senx}{dx}}-2{\frac {d\,cosx}{dx}}}$

${\displaystyle y'=3cos(x)+2sen(x)\,}$

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