Descomposición en fracciones simples

Donde ningún par de factores es idéntico.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Donde los pares de factores son idénticos.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Donde ningún par de factores es igual.

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Sea ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}}$ Se puede descomponer en ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}}$

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}}$

Simplificando

${\displaystyle x+3=a(x+2)+b(x+1)}$

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-2&\;{\mbox{lo que produce}}\\-2+3&=a(-2+2)+b(-2+1)&\;calculando\\1&=-b&\;{\mbox{ es decir}}\\b&=-1\end{array}}}$

Para el caso de a observamos que ${\displaystyle x=-1}$ nos facilita el proceso

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-1&{}\\-1+3&=a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&=a&{}\\a&=2&{}\end{array}}}$

Siendo el resultado, el siguiente

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}}$

Sea ${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}}$

Se puede descomponer de esta manera

${\displaystyle {\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}}$

multiplicando por ${\displaystyle (x+1)^{3}}$, tenemos ejemplo:

${\displaystyle {\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}={\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}}$

Simplificando

${\displaystyle x^{2}+3x+1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c}$

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{array}{lrclr}{\text{Sea}}&x&=&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&=&a+b+c&{}\\{\text{Sea}}&x&=&1&{}\\{}&5&=&4a+2b+c&{}\\{\text{Sea}}&x&=&-1&{}\\{}&-1&=&0+0+c&{}\end{array}}}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}}$

Tenemos ${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}}$ que se puede convertir en ${\displaystyle {\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}}$

Multiplicamos por ${\displaystyle x(x^{2}+1)}$

Tenemos

${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}}$

Simplificando

${\displaystyle 1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x}$

Ahora podemos asignar valores a x

${\displaystyle {\begin{array}{lrcl}{\text{Si}}&x&=&0\\{}&1&=&a\\{\text{Si}}&x&=&1\\{}&1&=&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&=&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&=&b+c\\{\text{Si}}&x&=&-1\\{}&1&=&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&=&b-c\end{array}}}$

Resolviendo el sistema, resulta ${\displaystyle a=1\;b=-1\;c=0}$

Y el problema se resuelve de esta manera

${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}}$