Desviación estándar geométrica

Si la media geométrica de un conjunto de números {A₁, A₂, ..., A_n} se denota como μ_g, entonces la desviación estándar geométrica es

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{g}}\right)^{2} \over n}}\right).\qquad \qquad (1)}$

Si la media geométrica es

${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}.\,}$

tomando el logaritmo natural de ambos lados resulta

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$

El logaritmo de un producto es una suma de logaritmos (asumiendo que ${\displaystyle A_{i}}$ es positivo para todo ${\displaystyle i}$), por lo que

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,}$

Ahora se puede ver que ${\displaystyle \ln \,\mu _{g}}$ es la media aritmética del conjunto ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$, y por lo tanto, la desviación estándar aritmética de este mismo conjunto debe ser

${\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}.}$

Esto se simplifica a

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{g}}\right)^{2} \over n}}.}$

La versión geométrica de la unidad tipificada es

${\displaystyle z={{\ln(x)-\ln(\mu _{g})} \over \ln \sigma _{g}}={\log _{\sigma _{g}}(x/\mu _{g})}.\,}$

Si se conocen la media geométrica, la desviación estándar y el valor z de un dato, entonces el dato en bruto puede ser reconstruido usando la fórmula

${\displaystyle x=\mu _{g}{\sigma _{g}}^{z}.}$

La desviación estándar geométrica se usa como una medida de la dispersión log-normal de manera análoga a la media geométrica.[3] Como la transformación de log de una distribución log-normal resulta en una distribución normal, entonces la desviación estándar geométrica es el valor exponencial de la desviación estándar de los valores transformados de registro, es decir, ${\displaystyle \sigma _{g}=\exp(\operatorname {stdev} (\ln(A)))}$.

Como tal, la media geométrica y la desviación estándar geométrica de una muestra de los datos de una población logarítmicamente distribuida se pueden usar para encontrar los límites de los intervalos de confianza de manera análoga a la forma en que se utilizan la media aritmética y la desviación estándar para vincular los intervalos de confianza para una distribución normal (véase también distribución log-normal).

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