Diagrama de Penrose-Carter

Para representar el diagrama conforme de un espacio de Minkowski, podemos pensar en la expresión de su métrica plana en coordenadas esféricas, y restringirnos a la subvariedad cubierta por las coordenadas r y t. Estas coordenadas abarcan un rango infinito. Un primer intento de conseguir que cubran un rango finito sería usar las nuevas coordenadas ${\displaystyle T=arctgt}$ y ${\displaystyle r=arctgr}$. Pero esto no conseguiría mantener los conos de luz de nuestro diagrama a 45°. Para conseguirlo, se realiza un triple cambio de coordenadas:

• En primer lugar, el cambio a las coordenadas nulas ${\displaystyle u=t-r}$, ${\displaystyle v=t+r}$.
• Sobre ellas, efectuamos el cambio ${\displaystyle U=\arctan {u}}$, ${\displaystyle V=\arctan {v}}$.
• Finalmente, volvemos a coordenadas ${\displaystyle T=U+V}$, ${\displaystyle R=V-U}$.

La métrica en estas coordenadas queda expresada por:[4]

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{\omega (T,R)^{2}}}(-dT^{2}+dR^{2}+\operatorname {sen} ^{2}Rd\Omega ^{2})}$

donde

${\displaystyle \omega =\cos {T}+\cos {R}\,}$.

En lugar de esta métrica, que llamaremos ${\displaystyle g_{0}}$, en el diagrama de Penrose representaremos la métrica conforme ${\displaystyle \omega ^{2}g_{0}}$. Como las coordenadas abarcan los rangos: ${\displaystyle -\pi <R+T<\pi \,,;-\pi <R-T<\pi }$, el diagrama tendrá forma de diamante (o de triángulo si se añade la condición de que R sea positivo).

Diagrama de Penrose de un espacio-tiempo de Schwarzschild. El eje horizontal representa la coordenada espacial v, y el vertical la coordenada temporal u (no deben confundirse con las coordenadas nulas del espacio de Minkowski).

La figura muestra la representación de un espacio de Schwarzschild correspondiente a un agujero negro estático (sin rotación). La coordenada vertical llamada « u » es la temporal, mientras que la coordenada horizontal « v » es espacial. El diagrama de Penrose es conforme, es decir que las geodésicas de género nulo (líneas de luz) corresponden a las media-primera y segunda bisectrices « altas ».

De este sistema de coordenadas derivado del de Kruskal se tiene:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {32M^{3}}{r}}{\frac {e^{-{\frac {r}{2M}}}(-du^{2}+dv^{2})}{4\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u+v)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u-v)}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

El diagrama hecho entonces por abstracción de dos coordenadas esféricas ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \phi }$. Los conos de luz delimitados por las geodésicas nulas (ds² = 0) correspondiente a du² = dv², entonces {u = v} ou {u = -v}, es decir, las bisectrices primera y segunda.

Partiendo de la izquierda, dos rectas (primera y segunda bisectrices) divergen : la recta de abajo , llamada I-, representa « lo infinito del pasado », de esta provienen todos los móviles desde lo infinitamente lejano ; la recta de arriba, I+, corresponde al « infinito del futuro », y representa el lugar hacia donde se dirigen todos los móviles que se distancia luego de un agujero negro. Las dos rectas horizontales y paralelas representan la singularidad (en el pasaje del pasado al futuro), situado en r = 0. este diagrama es simétrico por relación con la vertical. En línea discontinua está representado el horizonte de un agujero negro ubicado (en unidades convencionales) en r = 2M.