Diferencia de dos cuadrados

La fórmula para la diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para factorizar polinomios que contengan el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad. Por ejemplo, el polinomio ${\displaystyle x^{4}-1}$ se puede factorizar de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}$

Como segundo ejemplo, los dos primeros términos de ${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y}$ se pueden factorizar como ${\displaystyle (x+y)(x-y)}$, por lo que se tiene que:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)}$

Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones como:

${\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab}$

La diferencia de dos cuadrados se usa para encontrar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, usando los coeficientes de un número complejo.

Por ejemplo, las raíces complejas de ${\displaystyle z^{2}+4}$ se pueden encontrar usando la diferencia de dos cuadrados:

${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle =z^{2}-4i^{2}}$ (desde ${\displaystyle i^{2}=-1}$)

${\displaystyle =z^{2}-(2i)^{2}}$

${\displaystyle =(z+2i)(z-2i)}$

Por lo tanto, los factores lineales son ${\displaystyle (z+2i)}$ y ${\displaystyle (z-2i)}$.

Dado que los dos factores encontrados por este método son conjugados, se puede usar esta propiedad a la inversa como un método para multiplicar un número complejo para obtener un número real. Esto se usa para obtener denominadores reales en fracciones complejas.[2]

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar para la racionalización de fraciones que contengan números irracionales.[3] Este es un método empleado para eliminar raíces de algunas expresiones (o al menos, independizarlas), aplicándose a la división por algunas combinaciones que involucran la presencia de una raíz cuadrada.

Por ejemplo: El denominador de ${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$ se puede racionalizar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}}$

${\displaystyle =-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.}$

Aquí, el denominador irracional ${\displaystyle {\sqrt {3}}+4}$ se ha racionalizado a ${\displaystyle 13}$.

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar como un atajo aritmético. Si se multiplican dos números (cuyo promedio es un número que se eleva fácilmente al cuadrado), la diferencia de dos cuadrados se puede usar para obtener el producto de los dos números originales.

Por ejemplo:

${\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)}$

Usando la diferencia de dos cuadrados, ${\displaystyle 27\times 33}$ se puede reformular como

${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ que es ${\displaystyle 30^{2}-3^{2}=891}$.

La diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es la suma de los dos bases n y n+1. Esto se puede ver de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar. De manera similar, la diferencia de dos cuadrados perfectos arbitrarios se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos pares es múltiplo de 4 y la diferencia de dos cuadrados perfectos impares es múltiplo de 8.

Varios algoritmos en teoría de números y criptografía usan diferencias de cuadrados para encontrar factores de números enteros y detectar números compuestos. Un ejemplo sencillo es el método de factorización de Fermat, que considera la secuencia de números ${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$, para ${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$. Si uno de los ${\displaystyle x_{i}}$ es igual a un cuadrado perfecto ${\displaystyle b^{2}}$, entonces ${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$ es una factorización (potencialmente no trivial) de ${\displaystyle N}$.

Este truco se puede generalizar de la siguiente manera. Si ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$ mod ${\displaystyle N}$ y ${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$ mod ${\displaystyle N}$, entonces ${\displaystyle N}$ es compuesto con factores no triviales ${\displaystyle \gcd(a-b,N)}$ y ${\displaystyle \gcd(a+b,N)}$. Esto forma la base de varios algoritmos de factorización (como la criba cuadrática) y se puede combinar con el test de primalidad de Fermat para dar el test de primalidad de Miller-Rabin más fuerte.

Prueba visual de las diferencias entre dos cuadrados y dos cubos

Si a y b son dos elementos de un anillo conmutativo R, entonces ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)}$.