Dilución de regresión

El caso en que x es fija, pero se mide con ruido, se conoce como modelo funcional o relación funcional.[2] Se puede corregir mediante mínimos cuadrados totales[3] y modelos de errores en variables en general.

El caso en que la variable x surge aleatoriamente se conoce como modelo estructural o relación estructural. Por ejemplo, en un estudio médico los pacientes se reclutan como muestra de una población, y sus características, como la presión arterial, pueden considerarse surgidas de una muestra aleatoria.

Supongamos que los puntos de datos verdes y azules capturan los mismos datos, pero con errores (+1 o -1 en el eje x) para los puntos verdes. Minimizar el error en el eje y conduce a una pendiente más pequeña para los puntos verdes, incluso si son sólo una versión ruidosa de los mismos datos.

Bajo ciertos supuestos (normalmente, supuestos de distribución normal) existe una relación conocida entre la pendiente real y la pendiente estimada esperada. Frost y Thompson (2000) revisan varios métodos para estimar esta relación y, por tanto, corregir la pendiente estimada.[4] El término relación de dilución por regresión, aunque no todos los autores lo definen de la misma manera, se utiliza para este enfoque general, en el que se ajusta la regresión lineal habitual y, a continuación, se aplica una corrección. La respuesta a Frost & Thompson de Longford (2001) remite al lector a otros métodos, ampliando el modelo de regresión para reconocer la variabilidad de la variable x, de modo que no surja ningún sesgo.[5] Fuller (1987) es una de las referencias estándar para evaluar y corregir la dilución por regresión.[6]

Hughes (1993) muestra que los métodos de razón de dilución de regresión se aplican aproximadamente en modelos de supervivencia.[7] Rosner (1992) muestra que los métodos de razón se aplican aproximadamente en modelos de regresión logística.[8] Carroll et al. (1995) dan más detalles sobre la dilución de regresión en modelos no lineales, presentando los métodos de razón de dilución de regresión como el caso más simple de los métodos de calibración de regresión, en los que también se pueden incorporar covariables adicionales.[9]

En general, los métodos para el modelo estructural requieren alguna estimación de la variabilidad de la variable x. Esto requerirá mediciones repetidas de la variable x en los mismos individuos, ya sea en un subestudio del conjunto de datos principal o en un conjunto de datos independiente. Sin esta información no será posible realizar una corrección.

El caso de múltiples variables predictoras sujetas a variabilidad (posiblemente correlacionadas) ha sido bien estudiado para la regresión lineal y para algunos modelos de regresión no lineal.[6][9] Otros modelos no lineales, como los modelos de riesgos proporcionales para el análisis de supervivencia, sólo se han considerado con un único predictor sujeto a variabilidad.[7]

Sea que ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \theta }$ son los valores verdaderos de dos atributos de una persona o unidad estadística. Estos valores son variables en virtud del supuesto de que difieren para las distintas unidades estadísticas de la población. Sea que ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ y ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ sean estimaciones de ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \theta }$ derivado directamente de la observación con error o de la aplicación de un modelo de medición, como el modelo de Rasch. Además, sea

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\beta +\epsilon _{\beta },\quad \quad {\hat {\theta }}=\theta +\epsilon _{\theta },}$

Donde, ${\displaystyle \epsilon _{\beta }}$ y ${\displaystyle \epsilon _{\theta }}$ son los errores de medición asociados a las estimaciones ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ y ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$.

La correlación estimada entre dos conjuntos de estimaciones es:

${\displaystyle \operatorname {corr} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})={\frac {\operatorname {cov} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})}{{\sqrt {\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]\operatorname {var} [{\hat {\theta }}}}]}}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {cov} (\beta +\epsilon _{\beta },\theta +\epsilon _{\theta })}{\sqrt {\operatorname {var} [\beta +\epsilon _{\beta }]\operatorname {var} [\theta +\epsilon _{\theta }]}}},}$

Que, suponiendo que los errores no están correlacionados entre sí ni con los valores verdaderos de los atributos, da como resultado:

${\displaystyle \operatorname {corr} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})={\frac {\operatorname {cov} (\beta ,\theta )}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }])(\operatorname {var} [\theta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\theta }])}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {cov} (\beta ,\theta )}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]\operatorname {var} [\theta ])}}}.{\frac {\sqrt {\operatorname {var} [\beta ]\operatorname {var} [\theta ]}}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }])(\operatorname {var} [\theta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\theta }])}}}}$

${\displaystyle =\rho {\sqrt {R_{\beta }R_{\theta }}},}$

Donde, ${\displaystyle R_{\beta }}$ es el índice de separación del conjunto de estimaciones de ${\displaystyle \beta }$ que es análogo al alfa de Cronbach; es decir, en términos de la teoría clásica de los tests, ${\displaystyle R_{\beta }}$ es análogo a un coeficiente de fiabilidad. Concretamente, el índice de separación viene dado de la siguiente manera: ${\displaystyle R_{\beta }={\frac {\operatorname {var} [\beta ]}{\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }]}}={\frac {\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]-\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }]}{\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]}},}$

Donde el error estándar cuadrático medio de la estimación de la persona da una estimación de la varianza de los errores, ${\displaystyle \epsilon _{\beta }}$. Los errores estándar se producen normalmente como un subproducto del proceso de estimación (véase la estimación del modelo Rasch).

Por lo tanto, la estimación atenuada de la correlación entre los dos conjuntos de estimaciones de parámetros es:

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mbox{corr}}({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})}{\sqrt {R_{\beta }R_{\theta }}}}.}$

Es decir, la estimación de la correlación desatenuada se obtiene dividiendo la correlación entre las estimaciones por la media geométrica de los índices de separación de los dos conjuntos de estimaciones. Expresado en términos de la teoría clásica de las pruebas, la correlación se divide por la media geométrica de los coeficientes de fiabilidad de dos pruebas.

Dadas dos variables aleatorias ${\displaystyle X^{\prime }}$ e ${\displaystyle Y^{\prime }}$ medidas como ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ con correlación medida ${\displaystyle r_{xy}}$ y una fiabilidad conocida para cada variable, ${\displaystyle r_{xx}}$ y ${\displaystyle r_{yy}}$, la correlación estimada entre ${\displaystyle X^{\prime }}$ e ${\displaystyle Y^{\prime }}$ corregido por la atenuación es:

${\displaystyle r_{x'y'}={\frac {r_{xy}}{\sqrt {r_{xx}r_{yy}}}}}$.

La calidad de la medición de las variables afecta a la correlación de X e Y. La corrección por atenuación indica cuál sería la correlación estimada si se pudieran medir X′ e Y′ con total fiabilidad.

Por lo tanto, si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ se consideran medidas imperfectas de variables subyacentes ${\displaystyle X'}$ e ${\displaystyle Y'}$ con errores independientes, entonces ${\displaystyle r_{x'y'}}$ estima la verdadera correlación entre ${\displaystyle X'}$ e ${\displaystyle Y'}$.