Dimensión fractal local

La dimensión fractal local o exponente de Hölder de una medida finita definida sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ se define punto a punto como el límite:

${\displaystyle ({\mbox{dim}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}}$

El límite anterior no siempre existe por lo que común mente se definen los límites superior e inferior para la misma magnitud:[1]

${\displaystyle {\begin{cases}({\underline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\inf {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\\({\overline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\sup {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\end{cases}}}$

Si ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ es un conjunto de Borel y ${\displaystyle \mu \,}$ es una medida finita, se cumple que:

• Si ${\displaystyle ({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\geq s}$ para todo ${\displaystyle x\in E}$ y ${\displaystyle \mu (E)>0}$ entonces ${\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\geq s}$.
• Si ${\displaystyle ({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s}$ para todo ${\displaystyle x\in E}$ entonces ${\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\leq s}$.
• Si ${\displaystyle ({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s}$ para todo ${\displaystyle x\in E}$ y ${\displaystyle \mu (E)>0}$ entonces ${\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\leq s}$.
• Si ${\displaystyle ({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s}$ para todo ${\displaystyle x\in E}$ entonces ${\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}E\leq s}$.

Donde:

${\displaystyle {\mbox{dim}}_{H}(\cdot )}$, es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

${\displaystyle {\mbox{dim}}_{P}(\cdot )}$, es la dimensión de empaquetado.

El análisis multifractal de una medida finita sobre un espacio métrico se usa la dimensión fractal local, que puede diferir en algunos puntos de la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch, para definir el llamado espectro multifractal que se usa para caracterizar a la propia medida.

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