Dimensión infinita

Dimensión infinita o número infinito de dimensiones se refiere al caso de un espacio o estructura matemática modelizado sobre un espacio vectorial con número no finito de dimensiones. Es decir, un espacio vectorial que no admite una base vectorial con un número finito de elementos.[1][2]

Ejemplos

Un espacio de Hilbert como los que usualmente se usan en mecánica cuántica tiene una dimensión de Hilbert que es $\aleph _{0}$ , es decir, infinito numerable. Igualmente pueden existir estructuras con dimensión infinita no numerable.
En un espacio vectorial $V$ de dimensión infinita el espacio bidual $V^{**}$ no tienen por qué ser isomorfos, como sucede siempre en dimensión finita. De hecho, siempre resulta que: $\dim V\leq \dim V^{**}$ .
Una variedad de Banach puede tener dimensión infinita, aun no siendo un espacio vectorial, aunque dicha variedad localmente es homeomorfa a un espacio de Banach, ela misma no será en general un espacio de Banach. De manera similar, podemos definir variedades de Fréchet.
Un grupo de Lie asociado a una álgebra de Lie infinita, tiene también dimensión infinita, aunque no es un espacio vectorial y por tanto tiene una estructura no lineal de cierta complejidad.

Referencias

Hill & Phillips, 1957
Lang, 1972

Bibliografía

Einar Hille & Ralph Phillips: "Functional Analysis and Semi Groups", Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Vol. 31, Providence, R.I., 1957.

Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Archivado el 16 de septiembre de 2006 en Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive.
O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2000). 'Jaina mathematics' Archivado el 20 de diciembre de 2008 en Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive.

Datos: Q115799774

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[1] Hill & Phillips, 1957

[2] Lang, 1972