Distribución T² de Hotelling

Si el vector ${\displaystyle d}$ tiene distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza unitaria ${\displaystyle N({\boldsymbol {0}}_{p},{\boldsymbol {I}}_{p,p})}$ y ${\displaystyle M}$ es una matriz de tamaño ${\displaystyle p\times p}$ con matriz unitaria escalada y ${\displaystyle m}$ los grados de libertad con distribución de Wishart ${\displaystyle W({\boldsymbol {I}}_{p,p},m)}$ entonces la forma cuadrática ${\displaystyle X}$ tiene distribución de Hotelling con parámetros ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle X=md^{T}M^{-1}d\sim T^{2}(p,m)}$

Si la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ tiene distribución T-cuadrado de Hotelling con parámetros ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$, entonces

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}X\sim F_{p,m-p+1}}$

donde ${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$ es la distribución F con parámetros ${\displaystyle {\ce {p}}}$ y ${\displaystyle m-p+1}$.

La estadística T-cuadrado de Hotelling es una generalización de la estadística t de Student que se usa en las pruebas de hipótesis multivariadas, y se define como sigue:[1]

Sea ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$, que denota una distribución normal p-variada con vector de medias ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ y covarianza ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$. Sean

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$

${\displaystyle n}$ variables aleatorias independientes, las cuales pueden representarse como un vector columna de orden ${\displaystyle p\times 1}$ de números reales. Defínase

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}}$

como la media muestral. Puede demostrarse que

${\displaystyle n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})\sim \chi _{p}^{2},}$

donde ${\displaystyle \chi _{p}^{2}}$ es una distribución ji-cuadrado con p grados de libertad. Para demostrar eso se usa el hecho que ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } }/n)}$ y entonces, al derivar la función característica de la variable aleatoria ${\displaystyle \mathbf {y} =n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\mathbf {y} }(\theta )&=\operatorname {E} e^{i\theta \mathbf {y} }\\&=\operatorname {E} e^{i\theta n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}\\&=\int e^{i\theta n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}(2\pi )^{-{\frac {p}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}...dx_{p}\\&=\int (2\pi )^{-{\frac {p}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}...dx_{p}\\&=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\int (2\pi )^{-{\frac {p}{2}}}|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}...dx_{p}\\&=|(\mathbf {I} _{p}-2i\theta \mathbf {I} _{p})|^{-{\frac {1}{2}}}\\&=(1-2i\theta )^{-{\frac {p}{2}}}\end{aligned}}}$$

Sin embargo, ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ es por lo general desconocida y se busca hacer una prueba de hipótesis sobre el vector de medias ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$.

Defínase

${\displaystyle {\mathbf {W} }={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'}$

como la covarianza muestral. La traspuesta se ha denotado con un apóstrofo. Se demuestra que ${\displaystyle \mathbf {W} }$ es una matriz definida positiva y ${\displaystyle (n-1)\mathbf {W} }$ sigue una distribución Wishart p-variada con n−1 grados de libertad.[2] La estadística T-cuadrado de Hotelling se define entonces como

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$

porque se demuestra que ^{[cita requerida]}

${\displaystyle t^{2}\sim T_{p,n-1}^{2}}$

es decir

${\displaystyle {\frac {n-p}{p(n-1)}}t^{2}\sim F_{p,n-p},}$

donde ${\displaystyle F_{p,n-p}}$ es una distribución ${\displaystyle F}$ con parámetros ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle n-p}$. Para calcular un p-valor, multiplique la estadística t² y la constante anterior y use la distribución ${\displaystyle F}$.