Doble producto vectorial
Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión o ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.
Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:
demostrada más adelante.
Propiedades
- Según la fórmula, es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
- La interpretación geométrica del vector es la proyección ortogonal del vector sobre el plano cuyo vector normal es .
- El producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).
El vector
está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será
con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.
- Identidad de Jacobi:
Cuand
Notación de Levi-Civita
Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma
Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:
Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.
Demostración
Sea el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector en una componente paralela a B y otra paralela a C.
(1)
Para facilitar la demostración primero se supondrá ; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en ():
Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):
El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:
Igualando las expresiones anteriores se tiene:
(2)
El producto da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:
Como es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:
Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con ().
Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en () el producto escalar por el vector C:
En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector es opuesto a B. Esto implica:
Reemplazamos x e y en () y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.
(*)
Fórmula general
Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.
Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma ():
De modo que se puede desarrollar de esta manera:
Ahora, tenemos . Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.
Esta última identidad coincide con () y vale para cualquiera sean A, B y C.
Referencias
Bibliografía
- Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
- Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3.
- Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Vector Triple Product». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.