Ecuación de Kardar–Parisi–Zhang

La ecuación KPZ (por las iniciales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal. Describe la variación temporal del grosor ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ de una lámina. Es un buen modelo de crecimiento de superficies. Viene dada por la expresión:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}\phi +{\frac {\lambda }{2}}\left[\nabla \phi \right]^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;}$

donde ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$ es un ruido gaussiano blanco cuyos primer y segundo momentos están dados por

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0\qquad {\mathtt {y}}\qquad \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t')\,,}$

y ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \lambda }$ y ${\displaystyle D}$ son parámetros del modelo; ${\displaystyle d}$ es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución. En concreto:

1. si ${\displaystyle d<2}$ la ecuación tiene una sola fase "áspera" en la que las fluctuaciones de ${\displaystyle \phi }$ divergen algebraicamente con el tamaño del sistema, desestabilizando cualquier comportamiento estudiado;
2. si ${\displaystyle d>2}$ la ecuación presenta una "fase fluida" —un acoplamiento débil— para ${\displaystyle \lambda }$ lo suficientemente pequeña. En esta fase, las fluctuaciones son pequeñas y el comportamiento es coherente globalmente. El estudio de las correlaciones espaciales y temporales arroja que:

${\displaystyle \langle \phi (x_{1},t)\phi (x_{2},t)\rangle \sim {\frac {1}{r^{d-2}}}\qquad {\mathtt {y}}\qquad \langle \phi (x,t_{1})\phi (x,t_{2})\rangle \sim {\frac {1}{t^{\frac {d-2}{2}}}}}$