Ecuación característica

En matemáticas, la ecuación característica (o ecuación auxiliar) es una ecuación algebraica de grado $n$ de la que depende la solución[1] de una ecuación diferencial de orden n o de una secuencia lineal recurrente dada.[2][3] La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o de diferencia es lineal y homogénea, y tiene coeficientes constantes.[4] En tal ecuación diferencial, $y$ denota la variable dependiente, el superíndice $(n)$ denota la n-ésima derivada, y $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ son constantes:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,

y tendrá una ecuación característica de la forma

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

cuyas soluciones $r 1, r 2, ..., r n$ son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general.[4][5][6] Análogamente, una ecuación de diferencia lineal de la forma

y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}

tiene una ecuación característica

r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,

discutido con más detalle en el caso homogéneo de una secuencia lineal recurrente.

Las raíces características (raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución se describe mediante la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para las ecuaciones de diferencia, hay estabilidad si y solo si el módulo (valor absoluto) de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas.

El método de integración lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler, que encontró que las soluciones dependían de una ecuación algebraica 'característica'.[1] Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron consideradas más tarde por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge.[6]

Derivación

Comenzando con una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ ,

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0

se puede ver que si $y (x) = e rx$ , cada término sería un múltiplo constante de $e rx$ . Esto resulta del hecho de que la derivada de la función exponencial $e rx$ es un múltiplo de sí misma. Por lo tanto, $y' = re rx$ , $y ″ = r 2 e rx$ , y $y (n) = r n e rx$ son todos múltiplos. Esto sugiere que ciertos valores de $r$ permitirán que los múltiplos de $e rx$ sumen cero, resolviendo así la ecuación diferencial homogénea.[5] Para resolver $r$ , se puede sustituir $y = e rx$ y sus derivadas en la ecuación diferencial para obtener

a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0

Como $e rx$ nunca puede ser igual a cero, puede dividirse, dando la ecuación característica

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

Al resolver las raíces $r$ en esta ecuación característica, se puede encontrar la solución general a la ecuación diferencial.[4][6] Por ejemplo, si se encuentra que $r$ es igual a 3, entonces la solución general será $y (x) = ce 3 x$ , donde $c$ es una constante arbitraria.

Formación de la solución general

Resolver la ecuación característica para sus raíces, $r 1, ..., r n$ , permite encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Las raíces pueden ser reales o complejas, así como distintas o repetidas. Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, $h$ raíces repetidas o $k$ raíces complejas correspondientes a soluciones generales de $y D (x)$ , $y R 1 (x), ..., y R h (x)$ e $y C 1 (x), ..., y C k (x)$ , respectivamente, entonces la solución general a la ecuación diferencial es

y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)

Ejemplo

La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0

tiene la ecuación característica

r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0

Al factorizar la ecuación característica en

(r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0

se puede ver que las soluciones para $r$ son la raíz única distinta $r 1 = 3$ y las raíces complejas dobles $r 2,3,4,5 = -1 \pm i$ . Esto corresponde a la solución general de valor real

y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)

con constantes $c 1, ..., c 5$ .

Distintas raíces reales

El principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes dice que si $u 1, ..., u n$ son $n$ soluciones linealmente independientes para una ecuación diferencial particular, entonces $c 1 u 1 + ... + c n u n$ es también una solución para todos los valores $c 1, ..., c n$ .[4][7] Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas $r 1, ..., r n$ , entonces una solución general será de la forma

y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}

Raíces reales repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz $r 1$ que se repite $k$ veces, entonces está claro que $y p (x) = c 1 e r 1 x$ es al menos una solución.[4] Sin embargo, esta solución carece de soluciones linealmente independientes de las otras raíces $k - 1$ . Como $r 1$ tiene multiplicidad $k$ , la ecuación diferencial se puede factorizar en

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0

.

El hecho de que $y p (x) = c 1 e r 1 x$ sea una solución permite suponer que la solución general puede tener la forma $y (x) = u (x) e r 1 x$ , donde $u (x)$ es una función a determinar. Sustituyendo $ue r 1 x$ se obtiene

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}

cuando $k = 1$ . Al aplicar este hecho $k$ veces, se deduce que

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0

Al dividir $e r 1 x$ , se puede ver que

{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0

Sin embargo, este es el caso si y solo si $u (x)$ es un polinomio de grado $k - 1$ , de modo que $u (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + ... + c k x k - 1$ .[6] Como $y (x) = ue r 1 x$ , la parte de la solución general correspondiente a $r 1$ es

y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)

Raíces complejas

Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene una ecuación característica con raíces conjugadas complejas de la forma $r 1 = a + bi$ y $r 2 = a - bi$ , entonces la solución general es en consecuencia $y (x) = c 1 e (a + bi) x + c 2 e (a - bi) x$ . Según la fórmula de Euler, que establece que $e iθ = cos θ + i sin θ$ , esta solución se puede reescribir de la siguiente manera:

{\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}

donde $c 1$ y $c 2$ son constantes que pueden ser no reales y que dependen de las condiciones iniciales.[6] De hecho, dado que $y (x)$ es real, $c 1 - c 2$ debe ser imaginario o cero, y $c 1 + c 2$ debe ser real, para que ambos términos después del último signo de igualdad sean reales.

Por ejemplo, si $c 1 = c 2 = 1 / 2$ entonces se forma la solución particular $y 1 (x) = e ax cos bx$ . Del mismo modo, si $c 1 = 1 / 2 i$ y $c 2 = - 1 / 2 i$ entonces la solución independiente formada es $y 2 (x) = e ax sin bx$ . Por lo tanto, según el principio de superposición para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, una ecuación diferencial de segundo orden que tenga raíces complejas $r = a \pm bi$ dará como resultado la siguiente solución general:

y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)

Este análisis también se aplica a las partes de las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior cuya ecuación característica involucra raíces conjugadas complejas no reales.

Véase también

Polinomio característico

Referencias

Smith, David Eugene. «History of Modern Mathematics: Differential Equations». University of South Florida.
Baumol, William J. (1970). Economic Dynamics (3rd edición). p. 172.
Chiang, Alpha (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd edición). pp. 578, 600.
Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). «Chapter 3». Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. pp. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
Chu, Herman. «Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients». eFunda. Consultado el 1 de marzo de 2011.
Cohen, Abraham (1906). An Elementary Treatise on Differential Equations. D. C. Heath and Company.
Dawkins, Paul. «Differential Equation Terminology». Paul's Online Math Notes. Consultado el 2 de marzo de 2011.

Datos: Q1062971

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[smith-1] Smith, David Eugene. «History of Modern Mathematics: Differential Equations». University of South Florida.

[2] Baumol, William J. (1970). Economic Dynamics (3rd edición). p. 172.

[3] Chiang, Alpha (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd edición). pp. 578, 600.

[edwards-4] Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). «Chapter 3». Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. pp. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.

[eFunda-5] Chu, Herman. «Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients». eFunda. Consultado el 1 de marzo de 2011.

[cohen-6] Cohen, Abraham (1906). An Elementary Treatise on Differential Equations. D. C. Heath and Company.

[dawkins-7] Dawkins, Paul. «Differential Equation Terminology». Paul's Online Math Notes. Consultado el 2 de marzo de 2011.