Ecuación de Schrödinger-Pauli

La ecuación de Pauli tiene la forma:

(1)${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}-e\mathbf {A} ))^{2}+eV\right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

donde:

• ${\displaystyle m\,}$ es la masa de la partícula.
• ${\displaystyle e\,}$ es la carga eléctrica de la partícula.
• ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\sigma }}}}$ es un "vector" cuyas tres componentes son precisamente las matrices de Pauli bidimensionales.
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}\,}$ es el operador vectorial asociado al momento lineal. Las componentes de este vector son ${\displaystyle -i\hbar \partial _{x_{k}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} \ \ }$es el potencial vector del campo electromagnético.
• ${\displaystyle V\,}$ es el potencial eléctrico escalar.
• ${\displaystyle |\psi \rangle =}$ es un espinor formado por dos funciones de onda componentes, que se puede representar como ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}}$.

La derivación histórica de la ecuación se hizo siguiendo principios formales no muy diferentes del principio de acoplamiento mínimo usado posteriormente en la teoría cuántica de campos.

La ecuación de Pauli para el espinor de Pauli formado por dos componentes, cada uno con un significado similar a la función de onda. De hecho, en ausencia de campo la ecuación de Pauli se reduce a una ecuación de Schrödinger "doble", es decir, cada una de las dos componentes del espinor satisface independiente la ecuación de Schrödinger.

La densidad de probabilidad conjunta viene dada por las reglas usuales de la mecánica cuántica:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=\langle \psi ^{\dagger }|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{0}^{*}&\psi _{1}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}=\psi _{0}^{*}\psi _{0}+\psi _{1}^{*}\psi _{1}}$

E igualmente puede probarse que el valor esperado para los operadores de espín viene dado:

${\displaystyle \langle {\hat {S}}_{z}\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}(\psi _{0}^{*}\psi _{1}+\psi _{1}^{*}\psi _{0})dV,\qquad \langle {\hat {S}}_{x}\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}(\psi _{0}^{*}\psi _{0}-\psi _{1}^{*}\psi _{1})dV}$