Ecuaciones diferenciales autónomas

Una ecuación autónoma de orden ${\displaystyle n}$ es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

$${\displaystyle {\displaystyle x^{n}(t)=f(x(t),x^{\prime }(t),x^{\prime \prime }(t),...,x^{n-1}(t))},}$$

donde ${\displaystyle x(t)}$ toma valores en un espacio Euclídeo. Son casos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden ${\displaystyle n}$ en los que la función no depende explícitamente del parámetro ${\displaystyle t}$ (que habitualmente se interpreta como tiempo). En particular, una ecuación autónoma de orden 1 es de la forma

$${\displaystyle {\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}.}$$

Un punto ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ se dice punto crítico de la ecuación diferencial si cumple ${\displaystyle f(a)=0}$.

Para cada dato inicial ${\displaystyle x_{0}}$, el problema de Cauchy o de valores iniciales

$${\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}x^{\prime }(t)=f(x(t))\\x(t_{0})=x_{0}\quad ,\end{cases}}}}$$

con ${\textstyle f}$ una función continua tiene, por lo menos, una solución definida en un entorno de ${\textstyle {t_{0}}}$.

Demostración

En primer lugar, si ${\textstyle f(x_{0})=0}$, la función constante ${\textstyle x(t)=x_{0}}$ es solución. En efecto, ${\textstyle x'(t)=0=f(x_{0})=f(x(t))}$ y claramente ${\textstyle x(t)=x_{0}}$ cumple la condición inicial. En caso de que ${\textstyle f}$ no se anule en ${\textstyle {x_{0}}}$ y dado que ${\textstyle f}$ es una función continua, existe todo un entorno de ${\textstyle {x_{0}}}$ donde ${\textstyle f}$ no se anula. En ese entorno, la siguiente expresión tiene sentido puesto que el denominador es distinto de cero en todo punto: $${\displaystyle {\frac {x'(t)}{f(x(t))}}=1.}$$ Definimos para todo punto del intervalo donde ${\textstyle f}$ no se anula la siguiente función: ${\displaystyle F_{x_{0}}(x):=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{f(s)}}ds}$. Usando esta nueva función, la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo, la ecuación se puede escribir alternativamente de la siguiente forma: $${\displaystyle {d \over dt}{\Big (}F_{x_{0}}(x(t)){\Big )}={d \over dx}{\Big (}F_{x_{0}}(x){\Big )}\cdot {d \over dt}{\Big (}x(t){\Big )}={\frac {1}{f(x)}}\cdot x'(t)=1.}$$ Integrando ambos lados entre ${\textstyle t_{0}}$ y ${\textstyle t}$ y usando la condición inicial ${\displaystyle x({t_{0}})=x_{0}}$ se tiene $${\displaystyle F_{x_{0}}(x(t))-F_{x_{0}}(x(t_{0}))=F_{x_{0}}(x(t))=t-t_{0}.}$$ Nótese que ${\textstyle F_{x_{0}}}$ es una función monótona al ser la integral de una función que no cambia de signo (${\textstyle f}$ no se anula) en todo el intervalo de integración. Por lo tanto, ${\textstyle F_{x_{0}}}$ es biyectiva en su imagen y su inversa está bien definida. Así pues, aplicando la inversa a ambos lados, se obtiene la solución local $${\displaystyle x(t)=F_{x_{0}}^{-1}(t-t_{0}).}$$

Para el estudio de unicidad del problema de Cauchy se ha de distinguir entre datos iniciales que sean puntos críticos de ${\textstyle f}$ y el resto de puntos.

Datos iniciales que no sean puntos críticos

Dado un punto inicial ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ que verifica ${\displaystyle f(x_{0})\neq 0}$ (con ${\textstyle f}$ una función continua en ${\textstyle x_{0}}$), existe una única solución al problema de Cauchy.

Demostración

Sea ${\displaystyle \mathbb {\Phi } (t)}$ una solución definida en un entorno de ${\displaystyle x_{0}}$ distinta a la construida en el apartado anterior. Tomando la composición de ${\textstyle F_{x_{0}}(\mathbb {\Phi } (t))}$ y derivando se obtiene lo siguiente: $${\displaystyle {d \over dt}{\Big (}F_{x_{0}}(\mathbb {\Phi } (t)){\Big )}=F_{x_{0}}^{'}(\mathbb {\Phi } (t))\cdot \mathbb {\Phi } '(t)={\frac {1}{f(\mathbb {\Phi } (t))}}\cdot f(\mathbb {\Phi } (t))=1.}$$ Así pues, ${\textstyle F_{x_{0}}(\mathbb {\Phi } (t))\circ \mathbb {\Phi } (t)=t}$. Es decir, la función ${\displaystyle \mathbb {\Phi } (t)}$ es la inversa de ${\textstyle F_{x_{0}}}$ y, por ende, no es una solución distinta a la ya construida.

Se llaman soluciones estacionarias de la ecuación autónoma de primer orden ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle x^{\prime }(t)=f(x(t))}}}$ a todas las funciones constates de la forma ${\displaystyle {\textstyle {\displaystyle x(t)=a}}}$ , siendo ${\displaystyle a}$ un punto crítico.

Dado el problema de Cauchy

$${\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}x^{\prime }(t)=f(x(t))\\x(0)=x_{0}\quad ,\end{cases}}}}$$

sea ${\displaystyle x=a}$ un punto crítico. Diremos que ${\displaystyle x(t)=a}$ es una solución estable si dado ${\displaystyle {\displaystyle \epsilon >0}}$, existe ${\displaystyle {\displaystyle \delta >0}}$ tal que para todo punto ${\displaystyle {\displaystyle x_{0}\in U}}$ con ${\displaystyle {\displaystyle |x_{0}-a|<\delta }}$ se tiene que la solución maximal ${\displaystyle {\displaystyle x(t)}}$ del problema de valor inicial está definida para todo ${\displaystyle {\displaystyle t\in [0,\infty )}}$ y ${\displaystyle {\displaystyle |x(t)-a|<\epsilon ,\quad t\in [0,\infty )}}$. Por otro lado, diremos que a es asintóticamente estable si es estable y además existe ${\displaystyle {\displaystyle r>0}}$ tal que si ${\displaystyle {\displaystyle |x_{0}-a|<r}}$, entonces la solución ${\displaystyle {\displaystyle x(t)}}$ del problema de valor inicial verifica: ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{t\to \infty }|x(t)-a|=0.}}$ Finalmente, diremos que ${\displaystyle a}$ es inestable si no es estable.

Un criterio para establecer el comportamiento de las soluciones estacionarias es el signo de ${\displaystyle f'(a)}$. Si ${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }(a)<0}}$ entonces ${\displaystyle a}$ es asintóticamente estable. Si ${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }(a)>0}}$ entonces ${\displaystyle a}$ no es estable. En el caso de que la derivada sea igual a 0, no se puede concluir nada.

La ecuación diferencial ${\displaystyle {\displaystyle y(x)'=\left(2-y(x)\right)y(x)}}$ es autónoma. El siguiente código de Matlab genera una gráfica en la que se muestran

Campo de pendientes y soluciones

algunas soluciones particulares de la ecuación para distintos datos iniciales. Además en él se grafican los campos de pendientes.

Por otro lado se hallan las soluciones estacionarias ${\displaystyle y=0}$ e ${\displaystyle y=2}$,

y ${\displaystyle {\frac {2e^{2x}}{C_{1}+e^{2x}}}}$ como solución que depende de la constante ${\displaystyle C_{1}\in \mathbb {R} }$.

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % función f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % tamaños de la gráfica
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % valores de la gráfica
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % graficamos el campo de pendientes en negro
hold on
title('Campo de pendientes y soluciones particulares para f(x,y)=(2-y)y')
syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% resolvemos la ecuación diferencial para hallar una solución general
y_general = dsolve(equation);
% resolvemos para distintos valores iniciales
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% graficamos las soluciones
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
legend('Campo de pendientes', 'Soluciones particulares');
grid on;

V.I. Arnold "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”

L. Perko. “Differential Equations and Dynamical Systems"

Wikipedia contributors. (2022, March 21). Autonomous system (mathematics). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 09:19, May 3, 2022