Cifrado ElGamal

Para generar la clave, Alicia escoge un número primo ${\displaystyle p\,}$ cualquiera tal que el logaritmo discreto no es soluble en un tiempo asumible en ${\displaystyle Z_{p}^{*}}$ (grupo multiplicativo módulo un primo p). Esto último se traduce en que ${\displaystyle p-1\,}$ tenga un factor primo grande (lo que hace que el problema del logaritmo discreto sea difícil[2]).

Además Alicia elige dos números aleatorios ${\displaystyle g\,}$ (el generador del grupo cíclico (${\displaystyle {Z}_{p}^{*})}$) y ${\displaystyle a\,}$ (que actuará como clave privada) tal que ${\displaystyle a\in \{0,\ldots ,p-1\}}$.

Alicia calcula el valor de ${\displaystyle K=\,g^{a}{\pmod {p}}}$. La clave pública será ${\displaystyle (g,p,K)}$, mientras que el valor de ${\displaystyle a}$ lo mantendrá en secreto. Despejando ${\displaystyle a\,}$ de la ecuación ${\displaystyle K=\,g^{a}{\pmod {p}}}$ obtenemos la relación siguiente entre los componentes de la clave pública y la clave privada ${\displaystyle \log _{g}{K}{\pmod {p}}=a}$ con lo que el criptosistema es seguro siempre que sea difícil hallar el logaritmo discreto.

Supongamos que Bruce tiene un texto claro que quiere enviar cifrado a Alicia. Lo primero por hacer es convertir este texto en un entero m entre 1 y ${\displaystyle p-1}$ (${\displaystyle m\in Z_{p}}$). Esto no es parte del cifrado, sino que es una manera de codificar estándar, conocida por todos. Luego Bruce escoge arbitrariamente un número ${\displaystyle b\in \{2,\ldots ,p-1\}}$ (que mantendrá secreto) para finalmente calcular:

${\displaystyle y_{1}=g^{b}\,{\pmod {p}}}$

${\displaystyle y_{2}=K^{b}\,m\,{\pmod {p}}}$

El mensaje cifrado final corresponde a la tupla ${\displaystyle \,C_{b}(m,b)=(y_{1},y_{2})}$

Para descifrar aprovechamos que:

${\displaystyle y_{1}^{-a}y_{2}{\pmod {p}}=(g^{b})^{-a}K^{b}m{\pmod {p}}=g^{-ab}(g^{a})^{b}m{\pmod {p}}=(g^{a})^{-b}(g^{a})^{b}m{\pmod {p}}=m{\pmod {p}}}$

Por tanto para descifrar se tiene que realizar el siguiente cálculo:

${\displaystyle y_{1}^{-a}y_{2}{\pmod {p}}}$

donde ${\displaystyle y_{1}^{-a}}$ representa el inverso de ${\displaystyle y_{1}^{a}}$ módulo ${\displaystyle p}$ lo que indica que para calcular el descifrado, es necesario conocer ${\displaystyle a}$, que es la clave privada de Alicia.

Por el pequeño teorema de Fermat se demuestra que ${\displaystyle y_{1}^{-a}=y_{1}^{p-1-a}}$ y lo podemos aplicar.

Demostración: El pequeño teorema de Fermat indica que ${\displaystyle x^{p-1}{\pmod {p}}=1}$ con p primo y x>0 coprimo con p. Elevando a ${\displaystyle a}$ la expresión obtenemos que ${\displaystyle {x^{p-1}}^{a}{\pmod {p}}=1^{a}=1}$. Por tanto ${\displaystyle x^{(p-1)\cdot a}{\pmod {p}}=x^{ap-a}{\pmod {p}}=x^{a}\cdot x^{p-1-a}{\pmod {p}}=1}$. Despejando ${\displaystyle x^{p-1-a}{\pmod {p}}=x^{-a}{\pmod {p}}}$

Alicia elige los valores:

${\displaystyle p=17\,}$ (primo aleatorio y suponemos que p-1=16 tiene un factor primo grande lo cual no es cierto)

${\displaystyle g=3\,}$ (generador aleatorio)

${\displaystyle a=6\,}$ (clave privada aleatoria)

Alicia calcula

${\displaystyle K=g^{a}\,{\pmod {p}}=3^{6}\,{\pmod {17}}=15\,}$ (valor calculado)

Por tanto la clave pública será ${\displaystyle \,(g,p,K)=\,(3,17,15)}$.

Bruce tiene el texto claro

${\displaystyle \,m=9}$ (el cual está entre 1 y p-1)

Bruce escoge un ${\displaystyle \,b=5}$ aleatorio entre 2 y p-1 Bruce calcula

${\displaystyle y_{1}=g^{b}{\pmod {p}}=3^{5}{\pmod {17}}=5}$

${\displaystyle y_{2}=K^{b}m{\pmod {p}}=15^{5}\cdot 9{\pmod {17}}=1}$.

Por lo que el texto cifrado es ${\displaystyle C_{b}(m,b)=(y_{1}=5,y_{2}=1)}$

Para descifrar Alicia usa la clave privada ${\displaystyle \,(a=6)}$ y el Pequeño Teorema de Fermat:

${\displaystyle m=y_{1}^{p-1-a}y_{2}{\pmod {p}}=5^{10}\cdot 1{\pmod {17}}=9}$.

Veamos una aplicación más real del algoritmo:

Alicia elige los valores:

${\displaystyle p=15485863}$ (primo aleatorio y para ${\displaystyle p-1=15485862=3*2*7^{2}*52673}$ suponemos que 52673 es sufientemente grande)

${\displaystyle g=7}$ (generador aleatorio)

${\displaystyle a=21702}$ (clave privada aleatoria)

Alicia calcula

${\displaystyle K=g^{a}{\pmod {p}}=7^{21702}{\pmod {15485863}}=8890431}$ (valor calculado)

Por tanto la clave pública será ${\displaystyle (g,p,K)=(7,15485863,8890431)}$.

Bruce tiene el texto claro "HIJO"

${\displaystyle m=7\cdot 26^{3}+8\cdot 26^{2}+9\cdot 26+14=128688}$ (el cual está entre 1 y p-1)

Bruce escoge un ${\displaystyle b=480}$ aleatorio entre 2 y p-1

Bruce calcula

${\displaystyle y_{1}=g^{b}{\pmod {p}}=7^{480}{\pmod {15485863}}=12001315}$

${\displaystyle y_{2}=K^{b}m{\pmod {p}}=8890431^{480}\cdot 1286889{\pmod {15485863}}=8263449}$.

Por lo que el texto cifrado es ${\displaystyle C_{b}(m,b)=(y_{1}=12001315,y_{2}=8263449)}$ que al decodificarlo queda:

${\displaystyle y_{1}=12001315=1*26^{5}+0*26^{4}+6*26^{3}+21*26^{2}+11*26+1}$=BAGVLB

${\displaystyle y_{2}=8263449=18*26^{4}+2*26^{3}+4*26^{2}+0*26+25}$=SCEAZ

Con lo que el mensaje a enviar es (BAGVLB, SCEAZ)

Para descifrar Alicia usa la clave privada ${\displaystyle (a=21702)}$:

${\displaystyle y_{1}^{-a}y_{2}{\pmod {p}}=14823281\cdot 8263449{\pmod {15485863}}=128688}$ ya que por el pequeño teorema de fermat tenemos

${\displaystyle y_{1}^{-a}{\pmod {p}}=y_{1}^{p-1-a}{\pmod {p}}=12001315^{15464160}=14823281}$

Hasta el momento el algoritmo ElGamal de cifrado/descifrado puede ser considerado un algoritmo efectivo.

Un adversario con la habilidad de calcular logaritmos discretos podría ser capaz de romper un cifrado ElGamal. Sin embargo, en la actualidad, el algoritmo de computación de logaritmos discretos (cuando trabajamos módulo un primo) es subexponencial con una complejidad de λ = 1/3, la misma que la de factorizar dos números primos, y por tanto, no es accesible de realizar tal tarea en números grandes en un tiempo razonable. El logaritmo discreto es aún más difícil si trabajamos en otros grupos (como por ejemplo, curvas elípticas).

Véase Récords en logaritmos discretos para una muestra de las posibilidades que da la computación actual a la hora de resolver este problema.

Existe un caso en que este algoritmo se vuelve maleable. Esto implica que bajo un ataque específico la seguridad de ElGamal se puede quebrar. Este ataque usa el hecho de tener el texto cifrado ${\displaystyle C_{b}=(B,M)\,}$ del texto claro ${\displaystyle m\,}$ (ambos conocidos). Sabiendo esto se puede llegar a que el texto cifrado ${\displaystyle C_{b}=(B,k*M)\,}$ corresponde al texto plano ${\displaystyle k*m\,}$. Si ahora la persona que cifró el mensaje anterior genera otro texto cifrado ${\displaystyle C_{b}=(B,M')\,}$ (utilizando el mismo ${\displaystyle b\,}$ con el que cifró anteriormente) el adversario debería ser capaz de llegar al texto plano ${\displaystyle m'\,}$ correspondiente siguiente los siguientes pasos:

Calcular ${\displaystyle k=M'/M\,}$

Buscar un ${\displaystyle m'\,}$ tal que ${\displaystyle \,m'=m*k{\pmod {p}}}$ tomando en cuenta que ${\displaystyle m'\,}$ al igual que ${\displaystyle m\,}$ cumple con estar entre ${\displaystyle 0\,}$ y ${\displaystyle p-1\,}$

Tomando el peor caso, el atacante obtendrá dos textos claros (debido a la función módulo).

El análisis de rendimiento del algoritmo ElGamal es similar al de RSA. Concretamente tenemos el siguiente análisis

Sea ${\displaystyle \,n}$ el módulo usado en ElGamal. Los procesos de cifrado y descifrado de ElGamal toman tiempos ${\displaystyle \,O(\log n)}$.

El cifrado ElGamal es un cifrado homomórfico en la multiplicación. En efecto si:

• ${\displaystyle E(m_{1})=(g^{b_{1}}{\pmod {p}},K^{b_{1}}\,m_{1}\,{\pmod {p}})}$
• ${\displaystyle E(m_{2})=(g^{b_{2}}{\pmod {p}},K^{b_{2}}\,m_{2}\,{\pmod {p}})}$

entonces:

${\displaystyle E(m_{1})\cdot E(m_{2})=(g^{b_{1}}{\pmod {p}},K^{b_{1}}\,m_{1}\,{\pmod {p}})\cdot (g^{b_{2}}{\pmod {p}},K^{b_{2}}\,m_{2}\,{\pmod {p}})=(g^{b_{1}+b_{2}}{\pmod {p}},K^{b_{1}+b_{2}}\,m_{1}\,{\pmod {p}})=E(m_{1}\cdot m_{2})}$

Este tipo de cifrado permite probar el conocimiento del texto original cifrado sin tener que revelarlo (esta propiedad en inglés se llama plaintext aware). Por ejemplo esto es muy útil en sistemas de voto electrónico para asegurarnos de que el elector es el que realmente ha cifrado sus intenciones de voto y no las suministradas por un posible atacante. Para hacer la demostración se aprovecha del Algoritmo de identificación de Schnorr.[4]

Para un texto cifrado de ElGamal ${\displaystyle (M,G)=(g^{b},K^{b}m)}$, con el algoritmo de identificación de Schnorr, se prueba que P conoce b. Como la clave pública es ${\displaystyle (g,p,K)}$ entonces si P conoce b, entonces se puede recuperar m calculando ${\displaystyle m=G/K^{b}=K^{b}m/K^{b}}$. Por tanto el protocolo prueba que P conoce el texto original m.[5]

El Protocolo de Chaum-Pedersen puede ser usado para que un texto cifrado ${\displaystyle (G',M')=(Gy^{s},Mg^{s})}$ es un recifrado de ${\displaystyle (G.M)=(my^{r},g^{r})}$ sin revelar el factor de aleatorización s. La prueba de demostrar por el Protocolo de Chaum-Pedersen que ${\displaystyle log_{y}(G'/G)=log_{g}(M'/M)}$ o lo que es lo mismo ${\displaystyle log_{y}(Gy^{s}/G)=log_{g}(Mg^{s}/M)}$ que en ambos casos es igual a ${\displaystyle s}$. Esto implica que existe un valor s que lo hace posible.[6]

El Protocolo de Cramer-Damgard-Schoenmakers permite demostrar que un texto cifrado con ElGamal es el correspondiente a un texto claro de entre los posibles (los textos claros posibles tienen que estar predeterminados) sin revelar cual es. Esto es muy útil para votaciones electrónicas que usan este tipo de cifrado.[7]