Elemento irreducible

Sea ${\displaystyle R}$ un dominio de integridad y ${\displaystyle U(R)}$ el conjunto de los elementos invertibles de ${\displaystyle R}$. Se dice que ${\displaystyle p\in R}$, siendo ${\displaystyle p\neq 0}$ y ${\displaystyle p\notin U(R)}$ es un elemento irreducible en ${\displaystyle R}$ si cuando ocurre que ${\displaystyle p=q\cdot r}$ (con ${\displaystyle q,r\in R}$) entonces también ha de ocurrir que ${\displaystyle q\in U(R)}$ o que ${\displaystyle r\in U(R)}$.

Los siguientes ejemplos muestran elementos irreducibles:

• Polinomios irreducibles.
• En el anillo de enteros cuadráticos ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$, el número 3 es irreducible pero no es primo puesto que 9 puede ser escrito como ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$ y ${\displaystyle 3}$ divide a ${\displaystyle 9}$ mas no a ninguno de estos factores.