Emparejamiento

Sea R un anillo comutativo más la unidad, y sean M, N y L tres R-módulos.

Un emparejamiento es cualquier mapa bilinear R ${\displaystyle e:M\times N\to L}$. Que satisfaga:${\displaystyle e(rm,n)=e(m,rn)=re(m,n)}$

para cualquier ${\displaystyle r\in R}$. O equivalentemente, un emparejamiento es un mapa linear R: ${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

donde ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ denota el producto tensorial de M y N.

Un emparejamiento también puede ser considerado como un mapa linear R ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$, que satisfaga la primera definición y establezca ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$.

Un emparejamiento es llamado no degenerativo si para el mismo mapa se tiene que ${\displaystyle e(m,n)=1}$ para todo valor de ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n=0}$.

Cualquier producto escalar en un espacio vectorial V real es un emparejamiento (sean M = N = V, R = R en las definiciones anteriores).

El mapa determinante (matriz 2 × 2 en k) ${\displaystyle \to }$ k se puede considerar como un emparejamiento ${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$.

El mapa de Hopf ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ definido como ${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$ es un ejemplo de un emparejamiento. En,[1] Hardie et al. presentan una construcción explícita de este tipo de mapas utilizando conjuntos parcialmente ordenados.

El cómputo de los emparejamientos criptográficos utiliza dos grupos, ${\displaystyle G_{1}}$ y ${\displaystyle G_{2}}$. Estos dos grupos son finitos, cícilos y aditivamente formulados en donde al menos uno de estos grupos tiene orden primo, denotado como r. El emparejamiento toma un elemento de cada uno de los dos grupos y los mapa hacia un tercero ${\displaystyle G_{T}}$, el cual es finito, cíclico, pero formulado multiplicativamente, también de order primo r. Un emparejamiento criptográfico útil satisface las siguientes propiedades:

• Bilineariedad:
  • ${\displaystyle \forall P,P\in G_{1}}$ y ${\displaystyle \forall Q,Q\in G_{2}}$, se tiene que: ${\displaystyle e(P+P,Q)=e(P,Q)\times e(P,Q)}$ y ${\displaystyle e(P,Q+Q)=e(P,Q)\times e(P,Q)}$
• No degeneración:
  • ${\displaystyle \forall P\in G_{1}}$ con ${\displaystyle P\neq 0}$, existe ${\displaystyle Q\in G_{2}}$ tal que ${\displaystyle e(P,Q)\neq 1}$.
  • ${\displaystyle \forall Q\in G_{2}}$ con ${\displaystyle Q\neq 0}$, existe ${\displaystyle P\in G_{1}}$ tal que ${\displaystyle e(P,Q)\neq 1}$.
• Computable:
  • e puede ser fácilmente calculado.

Los mejores métodos para calcular los emparejamientos criptográficos están basados en el algoritmo de Miller. Este método está estandarizado de facto y su mejoramiento tanto en el bucle principal como en la llamada exponenciación final es tema actual de investigación. ^{[cita requerida]}

• The Pairing-Based Crypto Lounge