Entero gaussiano

Se dice que el entero gaussiano β es un factor del entero gaussiano α, si existe γ gaussiano no nulo tal que α=β·γ y se denota β|α. Por ejemplo 4 + 3i = (2-i) (1+2i), luego 2 -i divide a 4 + 3i. En caso de que el entero gaussiano no tenga divisores se denomina irreducible.[5]

Dos números gaussianos enteros se denominan asociados si difieren entre sí en un factor igual a un divisor de la unidad, de otra forma ${\displaystyle \beta ,-\beta ,i\beta ,-i\beta }$ serán números gaussianos enteros asociados si β es un número gaussiano entero arbitrario.[6]

Un entero gaussiano π es un número gaussiano primo si su norma es mayor que 1 y que el mismo no puede descomponerse en un producto de dos gaussianos enteros, cuyas normas sean menores que la del número π. Ejemplos

${\displaystyle \pi _{1}=2+i}$ de norma ${\displaystyle N(\pi _{1})=5}$

${\displaystyle \pi _{2}=4+i}$ de norma ${\displaystyle N(\pi _{2})=17}$.

Comúnmente, serán números gaussianos primos todos aquellos cuyas normas sean números racionales primos o sean el producto de un primo de la forma 4n + 3 por una unidad (±1, ±i).[7] Gauss demostró que Z[i] es un dominio de factorización única y mostró que los primos se dividen en tres clases:[8]

• 2 es un caso especial: 2 = i³ (1 + i)². Es el único primo en Z divisible por el cuadrado de un primo en Z[i]. En teoría de números algebraicos, se dice que 2 se ramifica en Z[i].

• Los primos positivos en Z de la forma 4n+3 son también primos en Z[i]. En teoría de números algebraicos, se dice que esos primos permanecen inertes en Z[i].

• Los primos positivos en Z de la forma 4n+1 son el producto de dos conjugados primos en Z[i]. En teoría de números algebraicos, se dice que esos primos se descomponen en Z[i].

Así, los primos inertes son 3, 7, 11, 19, ... y una factorización de los primos descompuestos es

 5 = (2 + i) × (2 − i),

13 = (2 + 3i) × (2 − 3i),

17 = (4 + i) × (4 − i),

29 = (2 + 5i) × (2 − 5i), ...

Los asociados y conjugados de un primo son también primos.

todo número gaussiano entero α ≠ 0 puede descomponerse en un producto de números gaussianos primos

${\displaystyle \alpha =\pi _{1}\pi _{2}...\pi _{k}}$

(los ${\displaystyle \pi _{i}}$ son números gaussianos primos que pueden no ser diferentes).

esta descomposición es unívoca, en la siguiente manera. Si se da otra descomposición

${\displaystyle \alpha =\beta _{1}\beta _{2}...\beta _{\ell }}$,

ambas descomposiciones tienen el mismo número de factores, k=l, y ellas pueden diferir apenas en el orden de factores y de los factores que sean divisores de la unidad. Esta proposición es análoga a una proposición referida a la descomposición de un número entero compuesto.