Equilibrado de motores

Los términos de equilibrio primario y secundario han sido utilizados por los ingenieros encargados del diseño de motores para distinguir con estos términos las vibraciones que afectan a un motor formado por una manivela de un tiempo (primario) o de dos tiempos (secundario).

En concreto, el equilibrado primario de un motor se logra añadiendo masas excéntricas al eje de rotación (unidas al mismo mediante barras), pero no incluye la variación de la energía cinética de los pistones durante el proceso de rotación de la manivela.

A diferencia de este, el equilibrado secundario sí puede incluir esta compensación, así como la del movimiento no senoidal del pistón o de otros movimientos producidos por el desplazamiento de masas que no se tienen en cuenta en el equilibrado primario.

A pesar de los intentos de los ingenieros y diseñadores no es posible equilibrar un motor por completo. No obstante, algunas configuraciones pueden ser perfectamente equilibradas en algunos casos, por ejemplo, el motor V12. Por otra parte, los desequilibrios producidos por las vibraciones no son estudiados ni en el equilibrado primario ni en el secundario.

El movimiento de la biela es una combinación de traslación y rotación, de tal forma que el problema se simplifica reduciendo la biela a un sistema dinámicamente equivalente compuesto por dos masas puntuales. Una de ellas se sitúa en el bulón del pistón (B), la otra en un punto E (muy próximo a A).

El sistema dinámicamente equivalente implica que la masa no cambia, que el centro de gravedad no cambia, y que el momento de inercia tampoco cambia.

${\displaystyle {m_{3}}={m_{B}}+{m_{E}}}$

${\displaystyle {m_{B}}{h_{B}}={m_{E}}{h_{E}}}$

${\displaystyle {I_{G}}={m_{B}}{h_{B}}^{2}+{m_{E}}{h_{E}}^{2}}$

No obstante, el punto E sigue teniendo un movimiento de rotación y traslación combinados y por lo tanto, el problema no se ha simplificado. Para asociar la masa a los puntos A y B se replanteará el sistema original fijando el punto B y la distancia h referida a B, trasladando el punto E hasta A. De esta forma sobra la tercera ecuación y se debe tener presente que se comete un error, ya que el momento de inercia de la nueva configuración es distinto del de la biela, por lo que no será dinámicamente equivalente. De esta forma, se obtiene:

${\displaystyle {m_{A}}={m_{3}}{\frac {h_{B}}{L}}}$

${\displaystyle {m_{B}}={m_{3}}{\frac {h_{A}}{L}}}$

Como la distancia entre los puntos A y E es pequeña la aproximación es aceptable y el error cometido pequeño. Además, los fabricantes construyen bielas con forma parecida, ya que se diseñan para aguantar esfuerzos de tracción y compresión que aparecen sobre la misma. Esto hace que el posicionamiento del centro de gravedad sea similar en las distintas bielas, situándose a 0.7L del punto B y 0.3L del punto A aproximadamente.

Utilizando estas aproximaciones se pueden asociar estas masas al pistón y a la manivela, de forma que la masa A se asocie a la manivela, y la masa B al pistón.

El equilibrado estático del cigüeñal exige que el centro de gravedad del mismo se encuentre situado en el eje de rotación. Esto implica que la fuerza resultante de todas las fuerzas centrífugas de las masas con movimiento giratorio sea nulo.

Por otra parte, el equilibrado dinámico de un cigüeñal se consigue cuando, además de cumplirse la condición anterior, la suma de los momentos de las fuerzas centrífugas de las masas con movimiento giratorio con respecto a cualquier punto del eje del cigüeñal sea nula.

Existen diferentes técnicas según el tipo de cigüeñal del motor, pudiéndose considerar el cigüeñal de un solo codo, de doble codo, el cigüeñal simétrico de varios codos o el cigüeñal asimétrico de varios codos. Para un cigüeñal de un solo codo, la masa de la biela que se situaba en el punto A (apartado anterior) se suma a la masa de la manivela y se equilibra con esta. Para alcanzar este equilibrio se necesitan dos masas en la prolongación del radio tal que:

${\displaystyle 2{m_{0}}{r_{0}}w^{2}={m_{2}}{r_{G_{2}}}w^{2}+{m_{A}}rw^{2}}$

El pistón realiza un movimiento de traslación pura. La expresión de la fuerza de inercia viene dada por:

${\displaystyle {\vec {F_{i}}}=-m{\vec {a}}\,}$

donde m hace referencia a la masa del pistón y a la masa de la biela referida al punto B (ver apartado efecto de la inercia sobre la biela) y a su aceleración.

${\displaystyle m={m_{4}}+{m_{B}}}$

Para obtener la ecuación que calcula el movimiento del pistón en función del movimiento del cigüeñal se aplicará el teorema del coseno en el triángulo que se muestra en la figura:

${\displaystyle L^{2}=r^{2}+x^{2}-2rxCos(wt)}$

${\displaystyle x^{2}-2rxCos(wt)+(r^{2}-L^{2})=0}$

${\displaystyle x={\frac {2rCos(wt)+{\sqrt {4r^{2}Cos^{2}(wt)-4(r^{2}-L^{2})}}}{2}}}$

${\displaystyle x=rCos(wt)+{\sqrt {r^{2}Cos^{2}(wt)-(r^{2}-L^{2})}}}$

${\displaystyle x=rCos(wt)+{\sqrt {r^{2}(Cos^{2}(wt)-1)+L^{2})}}}$

${\displaystyle x=rCos(wt)+{\sqrt {L^{2}-r^{2}Sin^{2}(wt)}}}$

${\displaystyle x=rCos(wt)+L{\sqrt {1-{\frac {r^{2}Sin^{2}(wt)}{L^{2}}}}}}$

En los cálculos anteriores se ha tomado la parte positiva de la raíz en la ecuación de segundo grado por considerar siempre x positivas. Un estudio minucioso del término sobre el cual se aplica dicha raíz revela que la función x está bien definida para todo valor de wt (esto es, de θ), puesto que dicho término es siempre mayor que 0 cuando se toma la hipótesis, cierta en la realidad, de que r<L.

La expresión así obtenida no resulta sencilla de manejar. Existen dos soluciones para salvar esta dificultad: el uso de las series de Fourier y la utilización del teorema del binomio de Newton que permiten dar una expresión aproximada del movimiento del pistón en función del movimiento del cigüeñal.

La expresión se compone de dos sumandos. El primero de ellos es una función coseno de amplitud máxima r, mientras que el segundo es una compleja función en la que aparece una raíz. El Teorema generalizado del binomio de Newton permite aproximar este segundo término por una expresión más sencilla en términos de funciones de tipo coseno de diferente frecuencia. La expresión de Newton es:

${\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{r}{r \choose k}y^{r-k}x^{k}}$

Tomaremos en esta expresión:

${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle x=-{\frac {r^{2}Sin^{2}(wt)}{L^{2}}}}$

La suma anterior la tomaremos únicamente para dos valores de k (0, 1). Esta aproximación es justificable sobre la base de que la amplitud del resto de armónicos es muy pequeña comparada con la del fundamental. Así pues, la función x[t] obtenida de sumar el primer término y el segundo transformado mediante el binomio de Newton es:

${\displaystyle x(t)=L+rCos(wt)-{\frac {1}{2}}({\frac {rSin(wt)}{L}})^{2}L}$

${\displaystyle x(t)=L+rCos(wt)-{\frac {1}{2}}({\frac {r}{L}})^{2}({\frac {1-Cos(2wt)}{2}})L}$

${\displaystyle x(t)=(L-{\frac {1}{4}}{\frac {r^{2}}{L}})+rCos(wt)+({\frac {1}{4}}{\frac {r^{2}}{L}})Cos(2wt)}$

La aceleración se calcula derivando dos veces respecto al tiempo y queda:

${\displaystyle x''(t)=-r\alpha (Sin(wt)+({\frac {r}{2L}})Sin(2wt))-rw^{2}(Cos(wt)+({\frac {r}{L}})Cos(2wt))}$

Considerando que el cigüeñal gira a velocidad constante se obtiene la siguiente expresión:

${\displaystyle x''(t)=-rw^{2}(Cos(wt)+({\frac {r}{L}})Cos(2wt))}$

Por lo tanto, la fuerza de inercia tiene el siguiente valor:

${\displaystyle {\vec {F_{i}}}=mrw^{2}Cos(wt)+m({\frac {r^{2}}{L}})w^{2}Cos(2wt))}$

La fuerza de inercia del pistón es una expresión formada por dos términos. Al primero se le denomina fuerza de inercia primaria, y su valor cambia de acuerdo a una ley armónica simple de frecuencia angular w. Al segundo término se le denomina fuerza de inercia secundaria, tiene el doble de frecuencia que el término anterior y su módulo es r/L veces el de éste.

No es posible equilibrar la fuerza de inercia secundaria con una masa asociada a la manivela ya que la fuerza tiene el doble de frecuencia que el motor, pero por otra parte, su valor es menor del 50% del de la fuerza de inercia primaria.

Por tanto, para equilibrar el motor se colocan dos pares de masas, uno con el objetivo de equilibrar la manivela y la parte de biela asociada, y el otro para equilibrar la fuerza de inercia primaria del pistón y la parte de biela asociada.

${\displaystyle 2{m_{0}}{r_{0}}w^{2}+2{m'_{0}}{r'_{0}}w^{2}={m_{2}}{r_{G_{2}}}w^{2}+{m_{A}}rw^{2}+({m_{B}}+{m_{4}})rw^{2}}$

Si aplicamos el método de la masa imaginaria a un motor de cuatro cilindros en línea cuyas manivelas están espaciadas 180° y tratamos este motor como si fueran dos motores de dos cilindros uno contra otro, tenemos los siguientes diagramas:

Por lo tanto, vemos en la figura a) que las fuerzas del primer armónico están equilibradas y, además, también están equilibrados los pares del primer armónico dada la simetría del motor. No obstante, estos pares tenderán a desviar el cojinete central de un cigüeñal de tres cojinetes hacia arriba y hacia abajo, y a doblar el centro de un eje de dos cojinetes, en la misma forma.

Aplicando del mismo modo la regla de Stevenson para el segundo armónico, con las manivelas 1 y 4 en el punto muerto superior, como tenemos en la figura b), vemos que todas las masas se acumulan en ese punto muerto, por lo que se produce una fuerza desequilibradota. El centro de masas de todas las masas siempre está sobre el eje X y, por tanto, los segundos armónicos desequilibrados provocan una vibración vertical con frecuencia igual al doble de la velocidad del motor. Esta es una característica típica de los motores de cuatro cilindros con esta disposición de las manivelas.

Un diagrama de los cuartos armónicos sería idéntico al anterior, y los efectos serían los mismos, pero a una frecuencia más elevada y, por lo tanto, ejerciendo menos fuerza.

En este tipo de motor de tres cilindros en línea las manivelas están espaciadas 120°. Los cilindros se numeran con el orden en el que llegan al PMS. Aplicando el método de las masas imaginarias y obteniendo los diagramas, vemos que las fuerzas de los primeros (figura a) ), segundos (figura b) ) y cuartos (figura c) ) armónicos están completamente equilibradas y sólo las fuerzas de los sextos armónicos( figura d) ) están completamente desequilibradas. No obstante, hay que destacar que la magnitud de estas fuerzas es muy pequeña y se pueden despreciar por lo que respecta a la vibración que introducen en el sistema. Así pues, vemos que en este tipo de motores, las fuerzas están prácticamente equilibradas.

Un análisis en los pares de las fuerzas del primer armónico muestra que cuando la manivela 1 se encuentra en el PMS, existe una componente vertical de las fuerzas en las manivelas 2 y 3, cuya magnitud es igual a la mitad de la fuerza sobre la manivela 1. La resultante d estas dos componentes hacia abajo es equivalente a una fuerza hacia abajo, con igual magnitud a la de la fuerza sobre la manivela 1 y localizada a la mitad entre las manivelas 2 y 3. Así pues, se establece un par con un brazo igual a la distancia entre el centro de la manivela 1 y la línea central entre las manivelas 2 y 3. Respecto a las componentes horizontales de las fuerzas, las de las fuerzas +2 y -2 se anulan entre sí; y lo mismo ocurre con las componentes horizontales de las fuerzas de +3 y -3. Por consiguiente, no existe par horizontal. También cabe reseñar que se encuentran pares similares en los segundos y cuartos armónicos.

En resumen, aunque un motor de tres cilindros ya está inherentemente equilibrado en cuanto a las fuerzas de los primeros, segundos y cuartos armónicos, no está exento de vibraciones, pues éstas son producidas por la presencia de pares en estos armónicos.

Concebimos un motor de seis cilindros en línea como una combinación de dos motores de tres cilindros espalda con espalda, con los cilindros en paralelo. Tendrá el mismo equilibrado inherente de los primeros, segundos y cuartos armónicos. Debido a la simetría, los pares de cada motor de tres cilindros actuarán en direcciones opuestas y se equilibrarán entre sí. Estos pares, aunque estén equilibrados, tienden a doblar el cigüeñal y la caja del cigüeñal (cárter) y conllevan a una construcción rígida para la operación a alta velocidad.

Las fuerzas de los sextos armónicos estarán compensadas si la simetría del motor es impar, pues la fuerza vertical hacia arriba se compensará con una hacia abajo. Si, por el contrario, la simetría del motor es par, las fuerzas de los sextos armónicos estarán completamente desequilibradas, pues las dos fuerzas serán verticales hacia arriba. Por tanto, tenderán a crear una vibración en el plano vertical con una frecuencia de 6ω. Sin embargo, la magnitud de estas fuerzas es muy pequeña y, por lo tanto, prácticamente despreciable como fuente de vibración en un motor.

Existen multitud de configuración de motores en función de la disposición de los cilindros (como se ha explicado antes: en línea, en V y radial) y el espaciamiento de las manivelas. Para cualquier combinación se puede observar la situación del equilibrado para el armónico deseado aplicando la regla de Stevenson. Hay que tener mucho cuidado a la hora de aplicar las reglas de Stevenson en el análisis de motores radiales y motores de pistones opuestos, ya que se exige, como anteriormente se ha descrito, la determinación del ángulo de recorrido a partir de PMS del cilindro considerado, y moviendo las masas imaginarias describiendo los ángulos apropiados a partir de ese PMS. Algunos ejemplos interesantes de motores son:

• Un motor radial de tres cilindros con una manivela y tres bielas que tienen un mismo pasador: Las masas negativas están inherentemente equilibradas para las fuerzas de los primeros armónicos. Las masas positivas se localizan siempre en el pasador de la manivela. Por tanto, hay desequilibrio en las fuerzas, pero se puede equilibrar tratándose de las masas positivas, ya que podemos equilibrarlo con masas de igual valor que giren a la velocidad ω. Estos principios son válidos para cualquier motor radial. Además, puesto que un motor radial tiene los cilindros en el mismo plano, no se producen pares desequilibrados. En cualquier caso, el motor de tres cilindros tendrá fuerzas no equilibradas en los segundos y armónicos superiores. Y no podremos compensarlas al no poder añadir una masa que gire a la velocidad doble, o cuádruple del cigüeñal.
• Un motor de dos cilindros con pistones opuestos, con un espaciamiento de las manivelas de 180º, está equilibrado para las fuerzas en los primeros, segundos y cuartos armónicos; pero no está equilibrado para los pares.
• Un motor de cuatro cilindros en línea con manivelas a 90º está equilibrado para las fuerzas en el primer armónico, pero no lo está en los pares. En el segundo armónico está equilibrado tanto para las fuerzas como para los pares.
• Un motor de ocho cilindros en línea con manivelas a 90º está inherentemente equilibrado tanto para las fuerzas como para los pares en el primer y segundo armónico; pero no está equilibrado en el cuarto armónico.
• Un motor de ocho cilindros en V con manivelas a 90º está inherentemente equilibrado para las fuerzas en el primer y segundo armónico y para los pares en el segundo. No obstante, los pares en el primer armónico se pueden equilibrar por medio de contrapesos que introducen un par igual y opuesto. Este tipo de motor está desequilibrado para las fuerzas en el cuarto armónico.

Habiendo visto ya una gran configuración de motores, vemos que muchos tienen buen equilibrado y vibraciones de baja frecuencia. Los que mayores ventajas tienen son los que tienen unas vibraciones muy suaves; es decir, no presentan fuerzas del primer y segundo armónico, así como no presentan pares desequilibrados del primer y segundo armónico. Los motores más empleados y con mayores ventajas en cuanto al tema de equilibrado y vibraciones son: motores de seis cilindros en línea, motores de doce cilindros en línea y motores en V de doce cilindros.

La cuestión sobre el equilibrado mecánico se abordó sobre las máquinas de vapor mucho antes de la invención del motor de combustión interna. Las locomotoras de vapor comúnmente han de equilibrar el peso de las ruedas motrices para controlar la vibración de las ruedas causados por el movimiento arriba y abajo de las barras o bielas de unión. Una vez más, el equilibrio es un compromiso, y algunos de los principales locomotoras de la línea, como el de Australia clase 38 no tienen esa clase de pesos.

Equilibrado de los componentes

Con el fin de alcanzar el equilibrio inherente de cualquier configuración de motor, el equilibrado de las masas debe estar relacionado. En la mayoría de los motores, algunos componentes individuales se concilian como un conjunto. De hecho, qué componentes son unidos es parte del diseño del motor.

Por ejemplo, los pistones son a menudo acoplados o unidos, y deberán ser sustituidos como un conjunto de preservar el equilibrado del motor. Con menos frecuencia, un pistón puede estar unido a sus barras de conexión (manivelas), de forma que ambos están mecanizados como un montaje de tolerancias más estrictas que cualquiera de los dos solo.

El equilibrado de motores no se limita solamente a consideraciones de equilibrio mecánico. Es vital, por ejemplo, que la relación de compresión y la válvula de escape de cada cilindro deben estar relacionadas, para un equilibrado y un rendimiento óptimo. Muchos componentes afectan a este equilibrio.