Equilibrio de Nash

Quizás el mejor ejemplo de un equilibrio de Nash es la variación del conocido “dilema del prisionero” modificado a fin de resaltar los efectos descritos. En esta versión hay varios jugadores (más de tres). El resultado sería mejor para todos si todos cooperaran entre ellos y no declararan, pero, dado que cada cual persigue su propio interés, y ninguno puede confiar en que nadie declarará, todos deben adoptar la estrategia de declarar, lo que termina en una situación (equilibrio) en la cual cada uno minimiza su posible pérdida.

Modificaciones adicionales permiten repetir el juego de forma indefinida (por ejemplo, con los jugadores repartiendo un “botín”, etc.). En todas esas situaciones resulta que la estrategia de no cooperar es la que minimiza el riesgo de pérdidas y otorga una ganancia media pero segura para cada jugador individual, aunque la cooperación maximizaría la ganancia tanto a nivel individual como de grupo.

El concepto de equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine Augustin Cournot y su trabajo sobre oligopolios (1838). En este se plantea el modelo de varias empresas que compiten por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuánto producir para intentar maximizar su ganancia en función de la producción de las otras. Se establece un equilibrio de Cournot cuando la producción de cada empresa maximiza sus beneficios, dada la producción de las otras empresas, lo que es una situación de estrategia pura en el equilibrio de Nash.

Los equilibrios de Nash en estrategias puras son limitados en muchos aspectos y fue con el desarrollo de la teoría moderna de juegos que surgen los equilibrios en estrategias mixtas (aquellas en las que los jugadores pueden elegir aleatoriamente entre varias estrategias). El concepto de equilibrio para este tipo de estrategias fue introducido por John von Neumann y Oskar Morgenstern en su libro Theory of Games and Economic Behavior (1944), aunque solo trataron los equilibrios para el caso especial de juegos de suma cero.

Fue John Forbes Nash quien en su tesis de doctorado titulada "Juegos no cooperativos (Non-Cooperative games)", presentada en 1950 y publicada en 1951,[4] define los equilibrios que hoy llevan su nombre, tratando de manera general las estrategias mixtas y demostrando que cualquier juego con un número finito de estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Nash ganaría posteriormente un premio Nobel por la amplia gama de aplicaciones que tuvo este concepto en diversas ramas de las ciencias.

Posteriormente se encontraron algunos casos en los que los equilibrios de Nash no llevaban a predicciones totalmente adecuadas para los comportamientos de los jugadores, o comportamientos estables que no se podían encontrar como equilibrios de Nash, lo que dio paso a la búsqueda y desarrollo de nuevos equilibrios (muchas veces como refinamientos de los equilibrios de Nash) y conceptos de solución de un juego.

Un juego rectangular se define como una terna ${\displaystyle (N,D_{j},{\varphi }_{j})}$, donde N es el conjunto de jugadores, ${\displaystyle {D_{j}}}$ es el conjunto de estrategias para cada jugador j y

${\displaystyle {\varphi }_{j}:\prod _{i\in N}D_{i}\rightarrow \mathbb {R} \,}$

son las llamadas funciones de pago, que a cada conjunto de estrategias (una para cada jugador) le asocia un respectivo pago al jugador j.

Denotaremos ${\displaystyle \prod _{i\in N}D_{i}=D}$

Por otro lado dado un juego rectangular ${\displaystyle (N,D_{j},{\varphi }_{j})}$, decimos que ${\displaystyle X^{j}\in R^{l_{j}}}$ es una estrategia mixta del jugador j, si para toda ${\displaystyle \sigma ^{j}\in D_{j}}$, ${\displaystyle x_{\sigma ^{j}}^{j}\geq 0}$ y ${\displaystyle \sum _{\sigma ^{j}\in D_{j}}x_{\sigma j}^{j}=1}$. El entero ${\displaystyle l_{j}}$ denota el número de estrategias puras del jugador j.

Intuitivamente, una estrategia mixta es un vector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, de ahí que cada entrada tenga que ser no negativa y la suma de todas ellas sea 1.

En una estrategia mixta ${\displaystyle X^{j}}$ del jugador j, ${\displaystyle x_{\sigma ^{j}}^{j}}$ se interpreta como el peso o probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura ${\displaystyle \sigma ^{j}}$.

La letra ${\displaystyle M_{j}}$ denotará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al producto cartesiano de los conjuntos ${\displaystyle M_{j}}$. A cada elemento de M lo llamaremos un perfil de estrategias mixtas.

En la definición informal de equilibrios de Nash como estrategias estables que los jugadores terminan eligiendo hay fuertes supuestos de racionalidad. A menudo se pasa por alto el hecho de que en un juego los equilibrios de Nash se adoptarán solo bajo ciertas condiciones:

1. Todos los jugadores buscan maximizar su pago esperado de acuerdo a los pagos que describen el juego.
2. Los jugadores ejecutan sus estrategias sin errores.
3. Los jugadores tienen inteligencia suficiente para deducir sus propios equilibrios y los de los demás.
4. Los jugadores suponen que el hecho de cambiar su propia estrategia no provocará desviaciones en las estrategias de otros.
5. Existe un conocimiento común tanto de las reglas como de los supuestos de racionalidad.

De este modo, el incumplimiento de alguna de las condiciones puede llevar a desviaciones que resulten en estrategias distintas a los equilibrios de Nash:

1. La primera condición no se cumple si el juego no representa correctamente los pagos. Así, el dilema del prisionero no es tal si uno de los jugadores, contrario a toda racionalidad, busca quedarse el mayor tiempo posible en prisión.
2. Puede acontecer que a la hora de elegir una estrategia los jugadores se vean imposibilitados a llevarla a cabo en su realización. Así, la segunda condición pide que un jugador sea capaz de implementar su estrategia una vez que ha elegido su plan de acción.
3. Incluso en personas racionales e inteligentes existen juegos que, debido al poder de cómputo necesario para calcular sus equilibrios, se ven imposibilitadas a saber qué estrategia deberían seguir. Así, el juego del ajedrez no puede ser abordado para encontrar soluciones al juego y debido a esto los jugadores tienen que recurrir al ingenio para intentar vencer al oponente.
4. En muchas ocasiones los jugadores no saben exactamente las verdaderas reglas del juego y tienen que deducirlas de la experiencia, en cuyo caso incluso siendo racionales pueden deducir equilibrios que no corresponden completamente a los equilibrios reales.

Muchos juegos no tienen equilibrios en estrategias puras, ni siquiera los más sencillos, como por ejemplo el juego de piedra, papel o tijeras.

En estrategias mixtas sin embargo se puede asegurar que siempre existen equilibrios. Fue Nash quien demostró que cualquier juego rectangular finito tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (em). Inicialmente Nash se basa en la correspondencia de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de Kakutani; posteriormente, en su tesis de doctorado dio una nueva demostración basada en la función de reajuste de Nash y el teorema del punto fijo de Brouwer; sin embargo ambas pruebas son de existencia y no constructivas, es decir, aseguran la existencia de equilibrios de Nash, pero no muestran como calcularlos.

Fue a finales de los años sesenta que surgieron algoritmos (gracias al trabajo de matemáticos y economistas como Herbert Scarf, Carlton Lemke y Emanuel Sperner) que permitían calcular eficientemente puntos fijos: el algoritmo de Scarf y el lema de Sperner son los dos resultados más importantes que permitieron la prueba constructiva de existencia de equilibrios de Nash (cabe destacar que ambos resultados son generales y han encontrado una amplia gama de aplicaciones además de la teoría de juegos).

• Teoría de juegos
• Estrategia mixta
• Estrategia pura
• Paradoja de Braess
• Principios de Wardrop

• H.S. Bierman, L. Fernández, "Game Theory with Economic Applications", Addison-Wesley, 1993.
• K. Binmore, "Teoría de Juegos", McGraw-Hill, 1994.
• R. Gibbons, "Un Primer Curso de Teoría de Juegos", Antoni Bosch, 1996.
• Oskar Morgenstern y John von Neumann, "Theory of Games and Economic Behavior" Princeton University Press, 1947.
• Zapata L. Paloma, "Economía, Política y Otros Juegos: Una Introducción a los Juegos No Cooperativos", las prensas de ciencias, 2007.

• Tesis doctoral de Nash
• Prueba de existencia de equilibrios de Nash (em)