Esfera de Bloch

Un qubit se puede representar como una combinación lineal de los estados ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$ y ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$, es decir:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Donde tanto ${\displaystyle \alpha }$ como ${\displaystyle \beta }$ pueden ser números complejos, los cuales podemos escribir en forma exponencial:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle =r_{\alpha }e^{i\phi _{\alpha }}|0\rangle +r_{\beta }e^{i\phi _{\beta }}|1\rangle }$

Entonces hemos caracterizado el qubit en términos de cuatro parámetros reales.

Sin embargo, las únicas cantidades medibles son las probabilidades ${\displaystyle \scriptstyle |\alpha |^{2}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |^{2}}$, entonces multiplicar este estado por un factor arbirtrario ${\displaystyle \scriptstyle e^{i\gamma }}$ (una fase global) no tiene consecuencias observables, ya que:

${\displaystyle |\alpha e^{i\gamma }|^{2}={\overline {(\alpha e^{i\gamma })}}(\alpha e^{i\gamma })=e^{-i\gamma }{\bar {\alpha }}(e^{i\gamma }\alpha )={\bar {\alpha }}\alpha =|\alpha |^{2}\,}$

y de forma similar para ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |^{2}}$. A esto se le conoce como invarianza con respecto a la fase global. Así, que podemos multiplicar libremente nuestro estado por ${\displaystyle \scriptstyle e^{-i\phi _{\alpha }}}$:

${\displaystyle |\psi '\rangle =e^{-i\phi _{\alpha }}|\psi \rangle =|\psi \rangle =r_{\alpha }|0\rangle +r_{\beta }e^{i(\phi _{\beta }-\phi _{\alpha })}|1\rangle =|\psi \rangle =r_{\alpha }|0\rangle +r_{\beta }e^{i\phi }|1\rangle }$

Donde hemos usado ${\displaystyle \scriptstyle \phi =\phi _{\beta }-\phi _{\alpha }}$, reduciendo el número de parámetros a tres.

Además, tenemos la condición de normalización ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$. Si escribimos ${\displaystyle r_{\beta }e^{i\phi }}$ en forma cartesiana, podemos escribir esta condición como:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\langle \psi |\psi \rangle &=&1\\&=&|r_{\alpha }|^{2}+|x+iy|^{2}\\&=&r_{\alpha }^{2}+x^{2}+y^{2}\end{array}}}$

Pero la ecuación ${\displaystyle 1=r_{\alpha }^{2}+x^{2}+y^{2}}$ corresponde a una esfera unitaria en el espacio real ${\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {R} ^{3}}$ (x,y,${\displaystyle r_{\alpha }}$).

Esto nos sugiere que se puede representar el estado ${\displaystyle |\psi \rangle }$ como un punto sobre la superficie de esta esfera unitaria. Estos puntos se escriben en términos de los ángulos ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \phi }$ como:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\cos(\phi )\sin(\theta )\\y&=&\sin(\phi )\sin(\theta )\\z&=&\cos(\theta )=r_{\alpha }\end{array}}}$

Sustituyendo esto en nuestro estado tenemos:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\psi \rangle &=&r_{\alpha }|0\rangle +(x+iy)|1\rangle \\&=&\cos(\theta )|0\rangle +(\cos(\phi )\sin(\theta )+i\sin(\phi )\sin(\theta ))|1\rangle \\&=&\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle \end{array}}}$

Notemos ahora que si ${\displaystyle \scriptstyle \theta =0}$, ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle =|0\rangle }$, y si ${\displaystyle \scriptstyle \theta =\pi /2}$, ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle =e^{i\phi }|1\rangle }$. Esta última expresión corresponde a los estados sobre el ecuador de nuestra esfera. Esto sugiere que en realidad basta ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ para tener todos los estados posibles.

Consideremos ahora un estado ${\displaystyle |\psi '\rangle }$ que este en el lado opuesto de la esfera, que tenga coordenadas ${\displaystyle (1,\pi -\theta ,\phi +\pi )}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\psi '\rangle &=&\cos(\pi -\theta )|0\rangle +\sin(\pi -\theta )e^{i(\phi +\pi )}|1\rangle \\&=&-\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i(\phi +\pi )}|1\rangle \\&=&-\cos(\theta )|0\rangle -\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle \\&=&-|\psi \rangle \end{array}}}$

Es decir que todos los estados debajo del ecuador son el negativo de algún estado por encima del ecuador. Para no repetir los estados sobre la esfera, cambiamos la expresión

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle }$

por

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta /2)|0\rangle +\sin(\theta /2)e^{i\phi }|1\rangle }$

De tal manera que todos los puntos sobre la esfera corresponden a algún único estado distinto.