Espacio completamente de Hausdorff

Supongamos que X es un espacio topológico. Sean x y y puntos en X.

• Decimos que x y y pueden separarse por vecindades cerradas si existe una vecindada cerrada U de x y una vecindad cerrada V de y tal que U y V son disjuntos (U ∩ V = ∅). (Note que una vecindad cerrada de x es un conjunto cerrado que contienen un conjunto abierto que contenga a x.)
• Decimos que x y y pueden ser separadas por una función si existe una función continua f : X → [0,1] (el intervalo unitario) con f(x) = 0 y f(y) = 1.

Un espacio de Urysohn, o espacio T_2½, es un espacio en el cual dos puntos cualesquiera pueden separarse por medio de vecindades cerradas.

Un espacio completamente de Hausdorff, o espacio funcional de Hausdorff, es un espacio en el cual dos puntos distintos pueden separarse por una función.

El estudio de los axiomas de separación es notorio por los problemas con los nombres y sus convenciones. Las definiciones usadas en este artículo son las dadas por Willard (1970) y son las definiciones más modernas. Steen y Seebach (1970) y otros autores invirtieron las definiciones de los espacios completamente de Hausdorff y los espacios de Urysohn.

Es un ejercicio sencillo mostrar que dos puntos cualesquiera que pueden separarse por una función pueden separarse por vecindades cerradas. Si ellos pueden separarse por vecindades cerradas entonces claramente pueden separarse por vecindades. Se sigue que cada espacio completamente de Hausdorff es de Urysohn y cada espacio de Urysohn es de Hausdorff.

Uno puede mostrar también que cada espacio regular de Hausdorff es de Urysohn y cada espacio de Tychonoff (= espacio completamente regular de Hausdorff) es completamente de Hausdorff. En resumen tenemos las siguientes implicaciones:

Tychonoff (T3½)	${\displaystyle \Rightarrow }$	regular de Hausdorff (T3)
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
Hausdorff completamente	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): \Rightarrow	Urysohn (T2½)	${\displaystyle \Rightarrow }$	Hausdorff (T2)	${\displaystyle \Rightarrow }$	T1

Uno puede encontrar contraejemplos mostrando que ninguna de estas implicaciones se invierte.[1]

La co-topología de extensión contable es una topología sobre la línea real generada por la unión de la topología euclidiana usual y la co-topología contable. Los conjuntos son abiertos en esta topología si y solo si son de la forma U \ A donde U es abierto en la topología euclidiana y A es contable. Este espacio es completamente de Hausdorff y de Urysohn, pero no regular (y así, no de Tychonoff).

Existen ejemplos oscuros de espacios que son de Hausdorff pero no de Urysohn, y espacios que son de Urysohn pero no completamente de Hausdorff o regular de Hausdorff. Para detalles ver Steen y Seebach.

• Axiomas de separación
• Espacio de Kolmogórov (T₀)
• Espacio de Fréchet (T₁)
• Espacio de Hausdorff (T₂)
• Espacio regular (T₃)
• Espacio de Tíjonov (T_3½)
• Espacio normal

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446.
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

• Completely Hausdorff en PlanetMath.