Espacio de Sóbolev

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones, que puede verse como un subespacio de un espacio L^p. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio vectorial del espacio L^p formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a L^p. Dado un dominio ${\displaystyle \scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ el espacio de Sobolev ${\displaystyle \scriptstyle W^{m,p}(\Omega )\,}$ se define como:

${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )=\{f\in L^{p}(\Omega )|\ D^{\alpha }f\in L^{p}(\Omega ),\ \forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}\subset L^{p}(\Omega )}$

Donde ${\displaystyle D^{\alpha }f\,}$ es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio, al igual que L^p(Ω), está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ de L^p:

${\displaystyle \|f\|_{m,p,\Omega }=\left[\sum _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right]^{1/p},\qquad 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{m,\infty ,\Omega }=\max _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }f\|_{L^{\infty }(\Omega )}}$

Algunas propiedades interesantes son:

• Los espacios de Sóbolev son reflexivos, es decir isomorfos a su espacio bidual, para ${\displaystyle \scriptstyle 1<p<\infty }$
• El espacio de Sóbolev ${\displaystyle \textstyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega )}$
• ${\displaystyle \textstyle W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega )}$ si ${\displaystyle \textstyle m>k}$
• ${\displaystyle \textstyle C^{m}({\bar {\Omega }})\hookrightarrow W^{m,p}(\Omega )}$
• ${\displaystyle \textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})\cap W^{m,p}(\Omega )}$ es denso en ${\displaystyle \textstyle W^{m,p}(\Omega )}$

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )={\overline {W^{m,p}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}}$

Los espacios de Sóbolev, con ${\displaystyle p=2\,}$ están dotados de manera natural de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L²:

${\displaystyle H^{m}(\Omega )\equiv W^{m,2}(\Omega )}$

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L²:

${\displaystyle (f,g)_{H^{m}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq m}(D^{\alpha }f,D^{\alpha }g)_{L^{2}(\Omega )}}$

Análogamente al caso de los espacios ${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$ se define el espacio:

${\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )={\overline {H^{m}(\Omega )\cap C_{0}^{\infty }(\Omega )}}}$