Estado ligado

Visión general de las distintas familias de partículas elementales y compuestas, y de las teorías que describen sus interacciones.

• Un protón y un electrón pueden moverse por separado; cuando lo hacen, la energía del centro de masa total es positiva, y ese par de partículas puede definirse como un átomo ionizado. Cuando el electrón empieza a «orbitar» alrededor del protón, la energía se vuelve negativa y se forma un estado ligado, es decir, el átomo de hidrógeno. Sólo el estado ligado de menor energía, el estado fundamental, es estable. Los demás estados excitados son inestables y se transformarán en estados ligados estables (pero no en otros inestables) de menor energía con la emisión de fotones.

• Un «átomo» de positronio es un estado ligado inestable de un electrón y un positrón. Se desintegra en fotones.
• Todo estado del oscilador armónico cuántico está ligado, pero tiene energía positiva. Observe que ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$ , por lo que no se aplica lo expuesto aquí.
• Un núcleo es un estado ligado de protones y neutrones (nucleones).
• El propio protón es un estado ligado compuesto por tres cuarks (dos arriba y uno abajo; uno rojo, uno verde y uno azul). Sin embargo, a diferencia del átomo de hidrógeno, los cuarks individuales nunca están aislados. Véase confinamiento del color.
• Los modelos de Hubbard y Jaynes-Cummings-Hubbard (JCH) admiten estados ligados muy similares. En el modelo de Hubbard, dos átomos bosónicos que se repelen pueden formar un par ligado en una red óptica.[2][3][4] El Hamiltoniano JCH también admite estados ligados de dos polaritones cuando la interacción fotón-átomo es lo suficientemente fuerte.[5]

Supongamos que H es un espacio de Hilbert complejo y divisible, que ${\displaystyle U=\lbrace U(t)\mid t\in \mathbb {R} \rbrace }$ sea un grupo de operadores unidimensionales con un parámetro sobre H y que ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ sea un operador de estadística sobre H. Supongamos que A es un observable sobre H y que ${\displaystyle \mu (A,\rho )}$ sea la distribución inducida de probabilidades de A con respecto a ρ en el σ-álgebra de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. En ese caso, la evolución de ρ provocada por U está ligada en función de A si ${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (A,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$, donde ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$.

De manera más informal, un estado ligado se encuentra dentro de una parte ligada del espectro de A. Un ejemplo concreto: supongamos que ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$ y A sean la posición. Teniendo un soporte sólido ${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$ y ${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$.

• Si la evolución del estado de ρ "mueve constantemente el paquete de ondas hacia la derecha", es decir, si ${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$ para todos ${\displaystyle t\geq 0}$ , entonces ρ no es un estado ligado con respecto a la posición.
• Si ρ no cambia en el tiempo, es decir ${\displaystyle \rho (t)=\rho }$ para todos ${\displaystyle t\geq 0}$, entonces ρ está ligado con respecto a la posición.
• En términos más generales: Si la evolución del estado de ρ "sólo mueve ρ dentro de un dominio ligado", entonces ρ está ligado con respecto a la posición.

Supongamos que A tiene un codominio de espacio-medida ${\displaystyle (X;\mu )}$. Una partícula cuántica está en estado ligado si nunca se encuentra "demasiado lejos de ninguna región finita R ⊆ X ". Por ejemplo, usando una representación de la función de onda:

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, ${\textstyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}}$ es finito. En otras palabras, un estado es un estado ligado sólo si es finitamente normalizable.

Como los estados finitamente normalizables deben encontrarse en la parte discontinua del espectro, es necesario que los estados ligados se encuentren también en la parte discontinua. Sin embargo, como señalaron Neumann y Wigner, un estado ligado puede tener su energía situada en el espectro continuo. En ese caso, los estados ligados siguen formando parte de la parte discontinua del espectro, pero aparecen como masas de Dirac en la medida espectral.

Un bosón con masa m_χ que actúa como mediador de una combinación débilmente ligada produce un potencial de interacción similar al de Yukawa,

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$,

donde en ${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$, la g es la constante gauge, y ƛ_i = ℏ/m_ic es la longitud de onda Compton reducida. Un bosón escalar produce un potencial de atracción universal, mientras que un vector atrae las partículas a las antipartículas pero repele los pares semejantes. Para dos partículas de masa m₁ y m₂, el radio de Bohr del sistema se convierte en

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

y da como resultado el número adimensional

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$

Para que exista el primer estado ligado, ${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$. Como el fotón no tiene masa, D es infinito en el electromagnetismo. Para la interacción débil, la masa del bosón Z es de 91,1876 ± 0,0021 GeV/c², lo que impide la formación de estados ligados entre la mayoría de las partículas, ya que es 97,2 veces la masa del protón y 178.000 veces la masa del electrón.

Nótese, sin embargo, que si la interacción de Higgs no rompiera la simetría electromagnética en la escala electrodébil, entonces la interacción débil SU(2) se convertiría en un confinador.[6]

• Resonancia (física de partículas)
• Par de Cooper

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Bound state» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 17 de diciembre de 2022, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.