Fórmula de reflexión

Las funciones pares e impares satisfacen relaciones simples de reflexión en torno a a = 0. Para todas las funciones pares,

${\displaystyle f(-x)=f(x),\,\!}$

y para todas las funciones impares,

${\displaystyle f(-x)=-f(x).\,\!}$

Una famosa relación es la fórmula de reflexión de Euler

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}}\!}$

para la función gamma Γ(z), dada por Leonhard Euler.

También hay una fórmula de reflexión general para el n-ésimo orden de la función poligamma ψⁿ(z),

${\displaystyle \psi ^{n}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{n}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}.\,\!}$

La función zeta de Riemann ζ(z) satisface

${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right).\,\!}$

y la función xi ξ(z) cumple que

${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z).\,\!}$

• Continuación analítica

• Weisstein, Eric W. «Reflection Relation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Polygamma Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.