Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker

La métrica deja alguna posibilidad de normalización. Una elección común es considerar el factor de escala actual como la unidad (${\displaystyle a(t_{0})\equiv 1}$). En esta elección la coordenada ${\displaystyle r}$ es dimensional al igual que ${\displaystyle k}$. En esta aproximación ${\displaystyle k}$ no es igual a ±1 o 0 sino que ${\displaystyle k=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0}-1\right)}$.

Otra posibilidad es especificar que ${\displaystyle k}$ es ± 1 o 0. De esto se obtiene que ${\displaystyle k/a(t_{0})^{2}=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0}-1\right)}$ donde el factor de escala ahora es dimensional y la coordenada ${\displaystyle r}$ es adimensional.

La métrica frecuentemente se escribe de una manera de curvatura normalizada mediante la transformación

${\displaystyle \chi ={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin ^{-1}\left({\sqrt {k}}\,r\right),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh ^{-1}\left({\sqrt {|k|}}\,r\right),&k<0.\end{cases}}}$

En coordenadas normalizadas en curvatura la métrica se convierte en:

(2)${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+a(t)^{2}\left[\mathrm {d} \chi ^{2}+S_{k}^{2}(\chi )\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}\right)\right]}$

Donde:

${\displaystyle S_{k}(\chi )={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin \left({\sqrt {k}}\,\chi \right)&k>0\\\chi &k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh \left({\sqrt {|k|}}\,\chi \right)&k<0\end{cases}}}$

Esta elección asume que el factor de escala es adimensional pero puede convertirse fácilmente a la ${\displaystyle k\,}$ normalizada.

La distancia comóvil es la distancia a un objeto con velocidad peculiar cero. En la curvatura normalizada la coordenada es ${\displaystyle \chi }$. La distancia propia es la distancia física a un punto en el espacio en un instante de tiempo. La distancia propia es ${\displaystyle a(t)\,\chi }$.

La solución dada por la métrica FLRW, describe un universo lleno de un fluido ideal con densidad y presión dada por las ecuaciones de Friedmann. Es una solución de las ecuaciones del campo de Einstein ${\displaystyle G_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}$ dando las ecuaciones de Friedmann cuando el tensor momento energía se supone de la misma manera que es isótropo y homogéneo. En unidades en las que c = 1, las ecuaciones resultantes son:

(3)${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }$

(4)${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k}{a^{2}}}-\Lambda =-8\pi Gp}$

Donde:

${\displaystyle k\in \{-1,0,1\}}$ es el signo de la curvatura espacial.

${\displaystyle a\,}$ es el factor de escala, a partir del cual puede calcularse el tamaño del universo observable.

${\displaystyle \Lambda \,}$ es la constante cosmológica

${\displaystyle G\,}$ es la constante de la gravitación universal

${\displaystyle \rho ,p\,}$ son la densidad y la presión de la materia interestelar.

Estas ecuaciones sirven como una primera aproximación del modelo cosmológico convencional del Big Bang incluyendo el actual modelo Lambda-CDM.

Debido a que la métrica FLRW exacto describe un universo perfectamente homogéneo, algunas fuentes afirman erróneamente que el modelo del Big Bang basado en la métrica FLRW no puede dar cuenta de la grumosidad observada del universo. En un modelo FLRW estricto, no hay cúmulos galácticos o acumulaciones de estrellas, ya que esas estructuras constituyen inhomogeneidades. No obstante, la FLRW se utiliza como una primera aproximación para la evolución del universo porque es simple y los modelos que calculan la grumosidad del universo se añaden al FLRW como extensiones. Muchos cosmólogos están de acuerdo con que el universo observable se aproxima de manera fiel a un modelo quasi-FLRW, es decir, un modelo que utiliza la métrica FLRW a partir de las fluctuaciones de la densidad primigenia. Hasta 2003, las implicaciones teóricas de las varias extensiones del FLRW parecían estar bien comprendidas y el objetivo es hacer estas consistentes con las observaciones del COBE y del WMAP.

El movimiento libre de las partículas en un universo, es decir, las trayectorias que siguen a medida que el espacio-tiempo entero evoluciona vienen dadas por las líneas geodésicas calculables a partir de la métrica:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\ddot {t}}+{\cfrac {{a'}_{t}}{2c^{2}}}\left[{\dot {r}}^{2}+{\bar {r}}^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2}\right)\right]=0&\qquad {\ddot {r}}+{\cfrac {{{\dot {a}}'}_{t}}{a}}+{\dot {r}}{\dot {t}}-{\bar {r}}{{\bar {r}}'}_{r}\left[{\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2}\right]=0\\\\{\ddot {\theta }}+{\cfrac {{{\dot {a}}'}_{t}}{a}}{\dot {\theta }}{\dot {t}}+{\cfrac {{\bar {r}}_{r}}{2{\bar {r}}}}{\dot {\theta }}{\dot {r}}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0&{\ddot {\varphi }}+{\cfrac {{{\dot {a}}'}_{t}}{a}}{\dot {\varphi }}{\dot {t}}+{\cfrac {{\bar {r}}_{r}}{2{\bar {r}}}}{\dot {\varphi }}{\dot {r}}+2\tan \theta {\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}=0\end{matrix}}}$

Puede comprobarse que los llamados observadores galácticos que se mueven junto con la materia que provoca la curvatura del espacio-tiempo dada por:

${\displaystyle t(\tau )=\tau ,\quad r(\tau )=r_{0}\quad \theta (\tau )=\theta _{0},\quad \varphi (\tau )=\varphi _{0}}$

Son líneas geodésicas.

De las potencialmente 55 componentes independientes del tensor de Riemann, en las mismas coordenadas usadas en la métrica (2), el tensor de Riemann se puede escribir a partir de como máximo seis componentes diferentes de cero:

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{0101}=a{\ddot {a}}&R_{0202}=a{\ddot {a}}S_{k}^{2}&R_{0303}=a{\ddot {a}}Sk^{2}\sin ^{2}\theta \\R_{1212}=a^{2}S_{k}\sin ^{2}\theta (S_{k}''-S{\dot {a}}^{2})&R_{1313}=a^{2}S_{k}(S_{k}''-S{\dot {a}}^{2})&R_{2323}=a^{2}S_{k}^{2}\sin ^{2}\theta (1+S_{k}^{2}{\dot {a}}^{2}-{S_{k}'}^{2})\end{matrix}}}$

Para cualquier valor de los parámetros la métrica FLRW define un universo espacialmente isótropo y homogéneo, aunque no existe ninguna simetría respecto al tiempo, eso hace que el grupo de isometría sea precisamente el grupo de simetría de un espacio isótropo y homogéneo de curvatura uniforme. Ese grupo es un grupo de Lie de dimensión 6, para el caso de un espacio plano (k = 0) ese grupo es precisamente: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times SO(3)}$

Las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes al siguiente par de ecuaciones:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}(p+\rho )}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G({1 \over 3}\rho +p)+{1 \over 3}\Lambda }$

con ${\displaystyle k\;}$ haciendo de constante de integración para la segunda ecuación.

La primera ecuación se puede obtener a partir de consideraciones termodinámicas y es equivalente a la primera ley de la termodinámica, suponiendo que la expansión del universo es un proceso adiabático (que es asumido implícitamente en la obtención de la métrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).

La segunda ecuación dice que la densidad de energía y la presión causan que la tasa de expansión del universo ${\displaystyle {\dot {a}}}$ no disminuya, p.ej. ambas causan una deceleración en la expansión del universo. Esto es una consecuencia de la gravedad, con la presión jugando un papel similar a esa densidad de energía (masa), de acuerdo con los principios de la relatividad general. La constante cosmológica, por otra parte, causa una aceleración en la expansión del universo.

El término de la constante cosmológica se puede omitir si reemplazamos los siguientes términos:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}\qquad p\rightarrow p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

Por tanto, la constante cosmológica se puede interpretar como que es una forma de energía que tiene una presión negativa, igual en magnitud a esta densidad de energía (positiva):

${\displaystyle p=-u\;}$

Tal forma de energía, una generalización de la noción de una constante cosmológica, es conocida como energía oscura.

De hecho, para obtener un término que causa una aceleración de la expansión del Universo, es suficiente tener un campo escalar que satisfaga

${\displaystyle p=-{\frac {u}{3}}}$

Tal campo algunas veces es llamado quintaesencia.

Hasta cierto punto, las ecuaciones anteriores ((3) y (4) ) se pueden aproximar utilizando la mecánica clásica. Para valores del factor de escala a(t) suficientemente grandes, el universo es aproximadamente plano en el sentido de que el término de densidad (proporcional a ${\displaystyle a^{-3}}$ para la materia o materia oscura o ${\displaystyle a^{-4}}$ para la radiación) en mucho mayor que el término de curvatura ${\displaystyle {k \over a^{2}}}$ y este se puede despreciar. El término de la constante cosmológica también es relativamente pequeño y se puede despreciar y entonces la primera de las ecuaciones se transforma simplemente en:

(*)${\displaystyle {1 \over 2}{{\dot {a}}^{2}}\approx {\frac {8G\pi }{3}}a^{2}\rho }$

Esta ecuación puede ser interpretada de hecho como la ley de la conservación de la energía clásica newtoniana:

1. El universo tiene una masa ${\displaystyle M}$ proporcional a ${\displaystyle a^{3}\rho \;}$ y, por tanto, su energía potencial es proporcional a ${\displaystyle -GM^{2}/a=-GM\rho a^{2}\;}$.
2. La energía cinética del universo por otro lado es proporcional a ${\displaystyle M{\dot {a}}^{2}/2}$

La suma de energía cinética más energía potencial multiplicada por una cierta constante es precisamente la ecuación (*):

${\displaystyle {1 \over 2}M{{\dot {a}}^{2}}-CMa^{2}G\rho =0}$

Siendo C una cierta constante de proporcionalidad que debe tomarse igual a ${\displaystyle 8\pi /3}$ para ser consistente con el resultado de la ecuación (*).

Nótese que en las etapas muy primigenias del universo, esta aproximación no es adecuada por varias razones. Por ejemplo, durante la inflación cósmica el término de la constante cosmológica domina las ecuaciones del movimiento. Incluso antes, durante la época de Planck, no se pueden despreciar los efectos cuánticos.