Fenómeno de Gibbs

Cuando la función que se está desarrollando en Serie de Fourier tiene discontinuidades (señales de variación rápida) no es posible que haya una buena convergencia en los entornos de las mismas.

En tales entornos, las sumas parciales muestran tanto sobrevalores como subvalores alrededor del valor real de la función, que pueden llegar a un 18% del salto en la discontinuidad.

Si ${\displaystyle X_{0}\,}$ es un punto de discontinuidad, la sucesión de sumas parciales converge al valor:

${\displaystyle S_{N}(X_{0})={\frac {f(X_{0}^{+})+f(X_{0}^{-})}{2}}\,}$

Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para un término de la sumatoria.

Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para diez términos de la sumatoria.

Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para cien términos de la sumatoria.

Animación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para treinta términos de la sumatoria.

Como se puede apreciar, a medida que se adhieren más términos a las series, ésta se va aproximando a la onda cuadrada dado que las oscilaciones se vuelven más rápidas y más pequeñas, pero los picos no disminuyen. Estos picos en las series de Fourier de la función cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenómeno de Gibbs nombrado por el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs. Ocurren cada vez que las señales tienen discontinuidades de salto (generalmente en los extremos), y siempre estarán presentes cuando la señal tiene oscilaciones fuertes como en este caso de uno a menos uno

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Gibbs phenomenon», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Weisstein, Eric W. «Gibbs Phenomenom». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.