Formas canónicas (álgebra de Boole)

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c l||c|c|c|}\hline n&m&&a&b&c\\\hline 0&m_{0}=&a'b'c'&0&0&0\\1&m_{1}=&a'b'c&0&0&1\\2&m_{2}=&a'bc'&0&1&0\\3&m_{3}=&a'bc&0&1&1\\4&m_{4}=&ab'c'&1&0&0\\5&m_{5}=&ab'c&1&0&1\\6&m_{6}=&abc'&1&1&0\\7&m_{7}=&abc&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm.

Un término negado, como ${\displaystyle a'}$ es considerado como el número binario 0 y el término no negado ${\displaystyle a}$ es considerado como un 1.

Por ejemplo, se asociaría el número 6 con ${\displaystyle abc'}$, y nombraríamos la expresión con el nombre ${\displaystyle m_{6}}$. Entonces ${\displaystyle m_{0}}$ de tres variables es ${\displaystyle a'b'c'}$ y ${\displaystyle m_{7}}$ debería ser ${\displaystyle abc}$ al ser ${\displaystyle 111_{(2}}$.

Se puede observar que cada minterm solo devuelve verdadero, (1), con una sola entrada de las posibles.

Por ejemplo, el minitérmino 5, ${\displaystyle ab'c}$ es verdadero solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c||c|}\hline n&a&b&f(a,b)\\\hline 0&0&0&1\\1&0&1&0\\2&1&0&0\\3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica: f(a,b), es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas con resultado '1 son la primera y la cuarta, entonces podremos escribir f como la suma de los minitérminos: ${\displaystyle f(a,b)=m_{0}+m_{3}}$.

Si queremos verificar esto:

${\displaystyle f(a,b)=m_{0}+m_{3}=(a'b')+(ab)}$

tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

Esta expresión aplicada a interruptores sería el de la figura, se puede ver que hay dos ramas, en la superior dos interruptores inversos: a’ y b’ puestos en serie, lo que es equivalente a a’b’, en la inferiores directos: a y b también en serie que es equivalente a ab, estos dos circuitos puestos en paralelo resultan a’b’ + ab.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c l|c l||c|c|c|}\hline n&M&&m&&a&b&c\\\hline 0&M_{0}=&a+b+c&m_{0}=&a'b'c'&0&0&0\\1&M_{1}=&a+b+c'&m_{1}=&a'b'c&0&0&1\\2&M_{2}=&a+b'+c&m_{2}=&a'bc'&0&1&0\\3&M_{3}=&a+b'+c'&m_{3}=&a'bc&0&1&1\\4&M_{4}=&a'+b+c&m_{4}=&ab'c'&1&0&0\\5&M_{5}=&a'+b+c'&m_{5}=&ab'c&1&0&1\\6&M_{6}=&a'+b'+c&m_{6}=&abc'&1&1&0\\7&M_{7}=&a'+b'+c'&m_{7}=&abc&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

El complemento de un minterm es su respectivo maxitérmino. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de De Morgan. Por ejemplo:

${\displaystyle m_{1}'=M_{1}}$

${\displaystyle (a'b)'=a+b'}$

Para indexar maxitérminos lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms. Se asigna a cada maxterm un índice basado en el complemento del número binario que representa (otra vez asegurándonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente alfabético). Por ejemplo, para una función de tres variables f(a,b,c) podemos asignar ${\displaystyle M_{6}}$ (Maxitérmino 6) al maxitérmino: ${\displaystyle a'+b'+c}$. De forma similar ${\displaystyle M_{0}}$ de tres variables debería ser ${\displaystyle a+b+c}$ y ${\displaystyle M_{7}}$ es ${\displaystyle a'+b'+c'}$.

Se puede ver fácilmente que un maxitérmino sólo da como resultado un cero para una única entrada de la función lógica. Por ejemplo, el maxitérmino 5, ${\displaystyle a'+b+c'}$, es falso solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c||c|}\hline n&a&b&f(a,b)\\\hline 0&0&0&1\\1&0&1&0\\2&1&0&0\\3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, f(a,b), es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la tercera, entonces podemos escribir f como un producto de maxitérminos ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$.

Si queremos verificar esto:

${\displaystyle f(a,b)=(a+b')(a'+b)}$

tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

La aplicación en un circuito de interruptores, es el del esquema, donde se puede ver los dos interruptores superiores a y a', y los inferiores b' y b.

En primer lugar tenemos puestos en paralelo a y b', lo que sería a+b', y a continuación, a' y b en paralelo que sería a'+b, estos dos circuitos parciales puestos en serie son equivalentes a (a+b')(a'+b), las distintas combinaciones de a y b, corresponden, como se puede ver a la tabla de verdad.

Este circuito está cerrado solo en dos de las cuatro combinaciones posibles: a b con los interruptores en esta posición se conecta la entrada con la salida y a’ b’ que también cierra circuito, para las otras combinaciones el circuito está abierto.

${\displaystyle Ent.\,}$
${\displaystyle Sal.\,}$

Este circuito y el anterior son claramente diferentes, pero los dos corresponden a la misma tabla de verdad y por lo tanto equivalentes.

Aun partiendo de la misma expresión booleana, se pueden realizar distintas configuraciones equivalentes, así se puede ver en esta segunda figura.

Se puede demostrar la equivalencia, simplificando la función, partiendo de:

${\displaystyle f(a,b)=(a+b')(a'+b)}$

Realizando las multiplicaciones, tendremos:

${\displaystyle f(a,b)=aa'+ab+b'a'+b'b}$

Simplificando:

${\displaystyle f(a,b)=ab+b'a'}$

con lo que tenemos la función obtenida por minitérminos.