Forma indeterminada

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

La forma indeterminada 0 • ထ

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }$

En los casos en que el límite de una diferencia es ${\displaystyle \infty }$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\displaystyle \infty -\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

• La forma 0⁰

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}$

• La forma ထ⁰
• La forma 1^ထ

Ejemplo: el siguiente límite[1]

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}$, es de la forma ${\displaystyle 0^{0}}$; considerando

${\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

${\displaystyle \ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x}$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

${\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3}$ de manera que el límite sería

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}$

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ထ/ထ
${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty \over \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad +\infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$

• Bien definido
• División por cero
• Recta real extendida
• Regla de l'Hôpital
• Infinito

• Stewart, James (1999). Cálculo:Trascendentes tempranas. Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0.
• Apostol, Tom (2006). Cálculus. Reverte. ISBN 968-6708-10-3.