Función L p-ádica

En matemática, una función zeta p-ádica, o más generalmente, una función L p-ádica, es una función análoga a la función zeta de Riemann, o a las más generales funciones L, pero cuyo dominio y su codominio son p-ádicos (donde p es un número primo). Por ejemplo, el dominio podría ser los enteros p-ádicos Z_p, un p-grupo profinito, o una familia p-ádica de representaciones de Galois, y la imagen podría ser los números p-ádicos Q_p o su clausura algebraica.

La fuente de una función L p-ádica tiende a ser una entre dos tipos. La primera fuente —por la cual Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p-ádica (Kubota y Leopoldt, 1964)—es por medio de la interpolación p-ádica de valores especiales de las funciones L. Por ejemplo , Kubota–Leopoldt usaron las congruencias de Kummer para los números de Bernoulli para construir una función L p-ádica, la función zeta p-ádica ζ_p(s), cuyos valores en números enteros negativos impares son aquellos de la función zeta de Riemann para los números negativos enteros impares (junto a un factor de corrección explícito). Las funciones L p-ádicas que surgen de esta manera son comúnmente referenciadas como funciones L p-ádicas analíticas. La otra mayor fuente de funciones L p-ádicas—descubiertas inicialmente por Kenkichi Iwasawa—provienen de la aritmética de los cuerpos ciclotómicos, o más generalmente, de ciertos módulos de Galois sobre torres de cuerpos ciclotómicos o de torres más generales. Una función L p-ádica que surge de esta manera es típicamente llamada función L p-ádica aritmética ya que codifica los datos aritméticos del módulo de Galois involucrado. La conjetura principal de la teoría de Iwasawa (ahora convertida en teorema gracias a Barry Mazur y Andrew Wiles) es una declaración de que la función L p-ádica de Kubota–Leopoldt y un análogo aritmético construido mediante la teoría de Iwasawa son esencialmente lo mismo. En situaciones más generales donde ambas (analítica y aritmética) funciones L p-ádicas son construidas (o se espera), la declaración de que es así se denota como la conjetura principal de Iwasawa para aquella situación. Tales conjeturas representan declaraciones formales concernientes a la filosofía que los valores especiales de funciones L contienen información aritmética.

Funciones L de Dirichlet

La función L de Dirichlet viene dada por la continuación analítica

L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}

La función L de Dirichlet en enteros negativos viene dada mediante

L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}

donde B_n,χ es un número de Bernoulli generalizado definido por

\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}

para χ un carácter de Dirichlet con conductor f.

Definición usando interpolación

La función L p-ádica de Kubota–Leopoldt L_p(s, χ) interpola la función L de Dirichlet con el factor de Euler en p eliminado. Concretamente, L_p(s,χ) es la única función continua del número p-ádico tal que

\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )

para los enteros positivos n divisibles por p−1. El miembro de la derecha es precisamente la función L de Dirichlet ordinaria, con la excepción de que el factor de Euler ha sido eliminado en p, de otra manera, esta no podría ser p-ádicamente continua. La continuidad del miembro de la derecha está íntimamente relacionada con las congruencias de Kummer.

Cuando n no es divisible por p−1 entonces esto no se cumple usualmente; en su lugar

\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})

para enteros positivos n. Aquí χ está ramificado por una potencia del carácter de Teichmuller ω.

Vista como una medida p-ádica

Las funciones L p-ádicas pueden también ser pensadas como medidas p-ádicas (o distribuciones p-ádica) sobre grupos de Galois p-profinitos. La traslación entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota–Leopoldt (como funciones Q_p-valuadas sobre Z_p) es por medio de la transformada de Mazur–Mellin (y de la teoría de cuerpos de clases).

Cuerpos totalmente reales

Deligne y Ribet (1980), desarrolló, sobre el trabajo previo de Serre (1973), la construcción analítica de las funciones L p-ádicas para cuerpos totalmente reales. Independientemente,Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus aproximaciones seguían de la aproximación de Takuro Shintani al estudio de los valores L.

Referencias

Barsky, Daniel (1978), «Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels», en Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., eds., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78) 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346.
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Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), «Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 214/215: 328-339, ISSN 0075-4102, MR 0163900. (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
Serre, Jean-Pierre (1973), «Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques», en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, eds., Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191-268, ISBN 978-3-540-06483-1, MR 0404145, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4.

Datos: Q7116913

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