Función Schur-convexa

En matemáticas, una función de Schur-convexa, también conocida como S-convex, función isotónica y función de preservación de orden es una función para todo tal que está mayorizado por , uno tiene eso . El nombre proviene de Issai Schur, Schur-convex funciones se utilizan en el estudio de la especialización. Cada función que es convexa y simétrica también es Schur-convexa. La implicación opuesta no es verdadera, pero todas las funciones de Schur-convex son simétricas (bajo permutaciones de los argumentos).[1] Asimismo, una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, - f , es Schur-convexa.

Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y todas las primeras derivadas parciales existen, entonces f es Schur-convexa si y solo si

for all

se mantiene para todo 1≤ijd.[2]

Ejemplos

  • es Schur-cóncavo mientras s Schur-convexo. Esto se puede ver directamente desde la definición.
  • La función de entropía de Shannon es Schur-cóncavo.
  • La función de entropía de Rényi también es Schur-cóncava.
  • es schur-convexa.
  • La función es Schur-cóncava, cuando asumimos que todo . De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando .
  • Una interpretación natural de la mayorización es que si entonces es menos esparcido que . Por lo tanto, es natural preguntar si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.

Referencias

  1. Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Convex functions. New York: Academic Press. p. 258. ISBN 9780080873725.
  2. E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press. p. 333. ISBN 9780080925226.
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