Función Schur-convexa

En matemáticas, una función de Schur-convexa, también conocida como S-convex, función isotónica y función de preservación de orden es una función $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ para todo $x,y\in \mathbb {R} ^{d}$ tal que $x$ está mayorizado por $y$ , uno tiene eso $f(x)\leq f(y)$ . El nombre proviene de Issai Schur, Schur-convex funciones se utilizan en el estudio de la especialización. Cada función que es convexa y simétrica también es Schur-convexa. La implicación opuesta no es verdadera, pero todas las funciones de Schur-convex son simétricas (bajo permutaciones de los argumentos).[1] Asimismo, una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, - f , es Schur-convexa.

Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y todas las primeras derivadas parciales existen, entonces f es Schur-convexa si y solo si

$(x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0$ for all $x\in \mathbb {R} ^{d}$

se mantiene para todo 1≤i≠j≤d.[2]

Ejemplos

$f(x)=\min(x)$ es Schur-cóncavo mientras $f(x)=\max(x)$ s Schur-convexo. Esto se puede ver directamente desde la definición.
La función de entropía de Shannon $\sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}$ es Schur-cóncavo.
La función de entropía de Rényi también es Schur-cóncava.
$\sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1$ es schur-convexa.
La función $f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}$ es Schur-cóncava, cuando asumimos que todo $x_{i}>0$ . De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando $x_{i}>0$ .
Una interpretación natural de la mayorización es que si $x\succ y$ entonces $x$ es menos esparcido que $y$ . Por lo tanto, es natural preguntar si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.

Referencias

Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Convex functions. New York: Academic Press. p. 258. ISBN 9780080873725.
E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press. p. 333. ISBN 9780080925226.

Datos: Q7433030

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[1] Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Convex functions. New York: Academic Press. p. 258. ISBN 9780080873725.

[2] E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press. p. 333. ISBN 9780080925226.