Función de Weierstrass

La función de Weierstrass fue la primera conocida con esta propiedad. De este modo, Weierstrass mostró que era falsa la conjetura que circulaba en aquella época que afirmaba que las funciones continuas eran diferenciables salvo en puntos aislados.

La función, tal como la definió Weierstrass, es la siguiente:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

donde ${\displaystyle 0<a<1}$, ${\displaystyle b}$ es un entero impar y positivo y cumplen que

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

La prueba de que la función es continua es sencilla. Dado que las sumas parciales son continuas y que la serie es uniformemente convergente, se deduce que el límite es continuo. Otra propiedad interesante de esta función es su condición fractal. Si bien su gráfico no es rigurosamente autosemejante (véase ampliación en el gráfico, arriba), la dimensión del mismo gráfico no es uno ni dos. De hecho la dimensión de Hausdorff está acotada inferiormente por:

${\displaystyle {\frac {\log a}{\log b+2}}}$

y se cree que ese sea su valor.[1]

• Copo de nieve de Koch