Función localmente integrable

Más formalmente, sea ${\displaystyle \scriptstyle \Omega }$ un conjunto abierto del espacio euclídeo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ y sea ${\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

${\displaystyle \int _{B}|f|dx\,}$

es finita para todo conjunto acotado ${\displaystyle B\subset \Omega }$, con ${\displaystyle {\overline {B}}\subseteq \Omega }$, entonces ${\displaystyle f}$ es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

${\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )}$

Teorema. Toda función ${\displaystyle \scriptstyle f}$ del espacio ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$, ${\displaystyle \scriptstyle 1\leq p\leq +\infty }$, donde ${\displaystyle \Omega }$ es un conjunto abierto de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica ${\displaystyle \scriptstyle \chi _{K}}$ de un conjunto compacto${\displaystyle \scriptstyle K}$ de ${\displaystyle \Omega }$: entonces, para ${\displaystyle \scriptstyle p\leq +\infty }$

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}dx}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }$

donde

• ${\displaystyle q}$ es un número positivo tal que ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$para un p dado tal que ${\displaystyle \scriptstyle 1\leq p\leq +\infty }$
• ${\displaystyle \mu (K)}$ es la medida de Lebesgue del conjunto compacto ${\displaystyle K}$

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

${\displaystyle {\int _{K}|f|dx}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|dx}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}dx}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }$

Y por tanto:

${\displaystyle f\in L_{loc}^{1}(\Omega )}$

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

${\displaystyle {\int _{K}|f|dx}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|dx}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}dx}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }$

la afirmación se sigue también para funciones ${\displaystyle f}$que pertenecen al espacio ${\displaystyle L^{p}(K)}$ para cada conjunto compacto ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle \Omega }$.

• Strichartz, Robert S. (2003). A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (en inglés). World Scientific Publishers. ISBN 981-238-430-8.